Théorie de Morse en géométrie finslérienne

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1. [1] J. Milnor. Morse Theory (Annals of Mathematics Studies n° 51, Princeton1963). Zbl0108.10401MR163331
2. [2] Palais et Smale. A generalized Morse theory (Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 70, n°1, 1964, p. 165). Zbl0119.09201MR158411
3. [3] « différentiable » signifiera toujours : de classe C∞ . 
4. [4] Le cas où J n'est pas toute la variété des vecteurs tangents à U non nuls, peut effectivement se présenter. Par exemple, si Lo est une fonction non homogène à valeurs positives définie sur la variété des vecteurs tangents à une variété U' de dimension n-1, A. LICHNEROWICZ lui associe canoniquement une fonction L définie sur la variété J des vecteurs (du' , dt ) tangents à U = U' x R vérifiant dt > 0 , en posant : L(du',dt)=Lo(1/dt du')dt (dt ∈ Tt( R )= R ). Il est clair que L est positivement homogène de degré 1. A toute courbe c':t→c'(t) dans U' , on associe canoniquement la courbe c : t→(c'(t),t) dans U , et t1tLo(dc' dt)dt=f1roLdc dt)dt. 
5. [5] A. Lichnerowicz. Espaces de Finsler (cours du Collège de France, 1959-60). H. Akbar-Zadeh. Thèse (Annales scientifiques de l'ENS, 1963). 
6. [6] La fonction L étant positivement homogène de degré 1, l'intégrale t1toL (dc/dt)dt prend la même valeur pour deux paramétrages t et t' d'une même courbe, pourvu que t' soit une fonction différentiable de t à dérivée première partout positive. On peut donc choisir le paramètre de façon aussi commode que possible, d'où la condition (iv). 
7. [7] Si φ : C[0,1]{to ,..., tk } → E est une fonction bornée à valeurs dans un espace normé E, on note Δti φ sa discontinuité φ(t+i) - φ(t-i) en ti. 
8. [8] Au lieu de considérer la fonction L, on aurait pu utiliser la fonction énergie c → E(c) = ∫1o L2(dc/dt)dt. Mais L2 n'étant plus homogène de degré 1, il aurait fallu varier E dans l'espace Ω' de toutes les courbes paramétrées [0,1]→ U joignant a et b , et non plus seulement dans l'espace Ω des courbes paramétrées proportionnellement à l'arc. On aurait alors obtenu une différentielle Ec* définie sur TcΩ', nulle si et seulement si c est une géodésique. Les résultats ultérieurs de la théorie auraient été inchangés car : - d'une part, le hessien Ec** d'une géodésique c a une restriction à ( T Ω)2 de la forme k. Lc** (où k est un nombre > 0), - d'autre part, Ω est un rétracte par déformations de Ω' muni de la Co ou de la C1. topologie. 
9. [9] F. Moala. Espaces de Finsler complets (Comptes rendus Ac. Sc. Paris, 1964 t. 258, n° 8, p. 2251 et n° 10 p. 2734). Zbl0135.22402MR161286
10. [10] L. Auslander. On curvature in Finsler Geometry (Transactions of the American Mathematical Society, vol. 79, 1955, p. 378). Zbl0066.16202MR71833