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Sums of digits of multiples of integers

Cécile Dartyge[1]; Gérald Tenenbaum[1]

  • [1] Université Henri Poincaré Nancy 1, Institut Élie Cartan, BP 239, 54506 Vandcedex (France)

Annales de l'institut Fourier (2005)

  • Volume: 55, Issue: 7, page 2423-2474
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let q ∈ ℕ , q ≥ 2 . For n ∈ ℕ , denote by s q ( n ) the sum of digits of n in the q -ary digital expansion. We give upper bounds for exponential sums like G ( x , y , θ ; α , b f h ) = ∑ x < n ≤ x + y exp ( 2 i π ( α 1 s q ( h 1 n ) + ⋯ + α r s q ( h r n ) + θ n ) ) , with r ∈ ℕ * , 𝐡 ∈ ℕ * r and θ ∈ r . The case r = 1 has already been studied by Gelfond and the case r ≥ 2 by Coquet and Solinas. For r ≥ 2 , our results are more precises and significative for a wider range of 𝐡 . Furthermore they are uniform in x and θ and explicits in 𝐡 . The control of these parameters is crucial for various applications given in the paper. For example we prove that if k ∈ ℕ , k ≥ 2 , there exists infinitely many integers n with exactly k prime factors and such that s q ( n ) ≡ a m (for ( m , q - 1 ) = 1 ). We also obtain upper bounds of sums of the form ∑ n ≤ x exp ( 2 i π α s q ( h n ) ) f ( n ) where f is a multiplicative fonction of modulus less than 1 .

How to cite

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Dartyge, Cécile, and Tenenbaum, Gérald. "Sommes des chiffres de multiples d'entiers." Annales de l'institut Fourier 55.7 (2005): 2423-2474. <http://eudml.org/doc/116259>.

@article{Dartyge2005,
abstract = {Soit $q\in \mathbb \{N\}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb \{N\}$, on note $s_q(n)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme\[G(x,y,\theta ;\alpha , \{\bf h\})= \sum \_\{x&lt;n\le x+y\}\exp (2i\pi (\alpha \_1s\_q(h\_1n)+\cdots +\alpha \_rs\_q(h\_r n)+\theta n)),\]pour $r\in \mathbb \{N\}^*$, $\{\bf h\}\in \mathbb \{N\}^\{*r\}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $\bf h$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $\bf h$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications. Nous montrons par exemple que pour $k\ge 2$ il existe une infinité d’entiers $n$ avec exactement $k$ facteurs premiers et vérifiant $s_q(n)\equiv am$ (pour $(m,q-1)=1$). Nous obtenons également des majorations de sommes de la forme $\sum _\{n\le x\}\exp (2i\pi \alpha s_q(hn))f(n)$ où $f$ est une fonction multiplicative de module au plus $1$.},
affiliation = {Université Henri Poincaré Nancy 1, Institut Élie Cartan, BP 239, 54506 Vandcedex (France); Université Henri Poincaré Nancy 1, Institut Élie Cartan, BP 239, 54506 Vandcedex (France)},
author = {Dartyge, Cécile, Tenenbaum, Gérald},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {Sums of digits; arithmetic progression; multiplicatives functions},
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pages = {2423-2474},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Sommes des chiffres de multiples d'entiers},
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TY - JOUR
AU - Dartyge, Cécile
AU - Tenenbaum, Gérald
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JO - Annales de l'institut Fourier
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PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 55
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EP - 2474
AB - Soit $q\in \mathbb {N}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb {N}$, on note $s_q(n)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme\[G(x,y,\theta ;\alpha , {\bf h})= \sum _{x&lt;n\le x+y}\exp (2i\pi (\alpha _1s_q(h_1n)+\cdots +\alpha _rs_q(h_r n)+\theta n)),\]pour $r\in \mathbb {N}^*$, ${\bf h}\in \mathbb {N}^{*r}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $\bf h$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $\bf h$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications. Nous montrons par exemple que pour $k\ge 2$ il existe une infinité d’entiers $n$ avec exactement $k$ facteurs premiers et vérifiant $s_q(n)\equiv am$ (pour $(m,q-1)=1$). Nous obtenons également des majorations de sommes de la forme $\sum _{n\le x}\exp (2i\pi \alpha s_q(hn))f(n)$ où $f$ est une fonction multiplicative de module au plus $1$.
LA - fre
KW - Sums of digits; arithmetic progression; multiplicatives functions
UR - http://eudml.org/doc/116259
ER -

References

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  1. M. Balazard, Unimodalité de la distribution du nombre de diviseurs premiers d'un entier, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 40 (1990), 255-270 Zbl0711.11030MR1070828
  2. A. Balog, I. Ruzsa, On an additive property of stable sets, 237 (1997), 55-63, Cambridge Univ. Press, Cambridge Zbl0924.11011MR1635722
  3. E. Bombieri, The asymptotic sieve, Rend. Accad. Naz. XL (5) 1/2 (1975/76), 243-269 Zbl0422.10042MR491570
  4. J. Coquet, Sur la représentation des multiples d'un entier dans une base Zbl0521.10045MR728398
  5. H. Daboussi, On a convolution method, (1989), 110-137 Zbl0671.10040MR1203323
  6. C. Dartyge, G. Tenenbaum, Congruences de sommes de chiffres de valeurs polynomiales Zbl1153.11307
  7. É. Fouvry, C. Mauduit, Sommes des chiffres et nombres presque premiers, Math. Ann. 305 (1996), 571-599 Zbl0858.11050MR1397437
  8. É. Fouvry, C. Mauduit, Méthodes de crible et fonctions sommes des chiffres, Acta Arith. 77 (1996), 339-351 Zbl0869.11073MR1414514
  9. A.O. Gelfond, Sur les nombres qui ont des propriétés additives et multiplicatives données, Acta arith. 13 (1968), 259-265 Zbl0155.09003MR220693
  10. R.R. Hall, Sets of multiples, Cambridge Tracts in Mathematics 118 (1996) Zbl0871.11001MR1414678
  11. K.-H. Indlekofer, I. Katai, Investigations in the theory of q -additive and q -multiplicative functions, I, Acta Math. Hungar. 91 (2001), 53-78 Zbl0980.11001MR1912360
  12. K.-H. Indlekofer, I. Katai, Investigations in the theory of q -additive and q -multiplicative functions, II, Acta Math. Hungar. 97 (2002), 97-108 Zbl1012.11008MR1932796
  13. H. Iwaniec, Rosser's sieve, Acta arith. 36 (1980), 171-202 Zbl0435.10029MR581917
  14. C. Mauduit, A. Sárközy, On finite pseudorandom binary sequences, II. The Champernowne, Rudin-Shapiro, and Thue-Morse sequences : a further construction, Journal number theory 72 (1998), 1-21 Zbl0916.11047MR1657960
  15. D.J. Newman, On the number of binary digits in a multiple of three, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1969), 719-721 Zbl0194.35004MR244149
  16. D.J. Newman, M. Slater, Binary digit distribution over naturally defined sequences, Trans. Amer. Math. Soc. 213 (1975), 71-78 Zbl0324.10053MR384734
  17. J. Schmid, The joint distribution of the binary digits of integer multiples, Acta arith. 63 (1984), 391-415 Zbl0489.10008MR756290
  18. W.M. Schmidt, The joint distribution of the digits of certain integer s -tuples, Studies in Pure Mathematics in Memory of P. Turán, Birkhäuser (1983), 605-622 Zbl0523.10030MR820255
  19. A. Selberg, On elementary methods in prime-number theory and their limitations, Collected Works vol. I (1989), 388-397, Springer, Berlin Zbl0048.03101
  20. J.A. Solinas, A theorem of metric diophantine approximation and estimates for sums involving binary digits, (1985) 
  21. J.A. Solinas, On the joint distribution of digital sums, Journal number theory 33 (1989), 132-151 Zbl0678.10037MR1034195
  22. K. Stolarsky, Integers whose multiples have anomalous digital frequencies, Acta arith. 38 (1980), 117-128 Zbl0448.10010MR604228
  23. G. Tenenbaum, Sur une question d'Erdos et Schinzel, A Tribute to Paul Erdos (1990), 405-443, Cambridge University Press Zbl0713.11069MR1117034
  24. G. Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, 2 ème édition, Cours spécialisés, (1995), Société mathématique de France Zbl0880.11001MR1366197
  25. G. Tenenbaum, A rate estimate in Billingsley's theorem for the size distribution of large prime factors, Quart. J. Math. 51 (2000), 385-403 Zbl1004.11050MR1782101
  26. en collaboration avec J. Wu G. Tenenbaum, Exercices corrigés de théorie analytique et probabiliste des nombres, Cours spécialisés, (1996), Société mathématique de France Zbl0873.11002MR1397501

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