Groupes de Rhin-Viola et intégrales multiples

Stéphane Fischler

Journal de théorie des nombres de Bordeaux (2003)

  • Volume: 15, Issue: 2, page 479-534
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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This paper gives a new presentation, and a generalization, of the group structures in Rhin-Viola’s work ([8], [9]) on irrationality measures of ζ (2) and ζ (3). On the one hand, these groups are seen as automorphism groups, which makes it possible to prove all relations between Rhin-Viola integrals using changes of variables. On the other hand, several families of n -dimensional integrals are considered, and each of them is shown to be equipped with a group action in the same fashion as in Rhin-Viola’s work. Moreover, the values of these integrals are (sometimes conjecturally) linear forms, over the rationals, in multiple zeta values of weight at most n . Among these families lie many integrals that have appeared in the study of the values of ζ at integer points. A change of variables is given between two of these families, which connects the approach of Beukers, Rhin-Viola, Vasilenko, Vasilyev to that of Sorokin and Rivoal.

How to cite

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Fischler, Stéphane. "Groupes de Rhin-Viola et intégrales multiples." Journal de théorie des nombres de Bordeaux 15.2 (2003): 479-534. <http://eudml.org/doc/249086>.

@article{Fischler2003,
abstract = {Ce texte donne une nouvelle présentation, et une généralisation, des groupes qui apparaissent dans les travaux de Rhin-Viola ([8], [9]) sur les mesures d’irrationalité de $\zeta $(2) et $\zeta $(3). D’une part, on interprète ces groupes comme des groupes d’automorphismes, ce qui permet de déduire chacune des relations entre intégrales utilisées par Rhin-Viola d’un changement de variables. D’autre part, on considère plusieurs familles d’intégrales $n$-uples, et on montre que chacune d’elles est munie d’une action de groupe comme dans les travaux de Rhin-Viola. De plus, les valeurs de ces intégrales sont (conjecturalement, pour certaines) des formes linéaires, sur le corps des rationnels, en les polyzêtas de poids au plus $n$. Ces familles englobent beaucoup d’intégrales qui sont apparues dans l’étude des valeurs de $\zeta $ aux entiers. On exhibe un changement de variables entre deux de ces familles, qui permet de relier les approches de Beukers, Rhin-Viola, Vasilenko, Vasilyev d’une part, Sorokin et Rivoal d’autre part.},
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