Value at 2 of L -functions of modular forms of weight 2 : an explicit version of Beilinson’s theorem

François Brunault

Bulletin de la Société Mathématique de France (2007)

  • Volume: 135, Issue: 2, page 215-246
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

top
We prove an explicit version of Beilinson’s theorem for the modular curve X 1 ( N ) . This result is the first step of a work linking the value at 2 of the L -function of a newform of weight 2 on the one hand, and the dilogarithm function associated to the corresponding modular curve on the other, in the spirit of Zagier’s conjecture for elliptic curves. As a corollary of our theorem, in the case N is prime, we answer a question raised by Schappacher and Scholl concerning the image of Beilinson’s regulator map.

How to cite

top

Brunault, François. "Valeur en $2$ de fonctions $L$ de formes modulaires de poids $2$ : théorème de Beilinson explicite." Bulletin de la Société Mathématique de France 135.2 (2007): 215-246. <http://eudml.org/doc/272368>.

@article{Brunault2007,
abstract = {Nous montrons une version explicite du théorème de Beilinson pour la courbe modulaire $X_1(N)$. Ce résultat est la première étape d’un travail reliant, d’une part, la valeur en $2$ de la fonction $L$ d’une forme primitive de poids $2$, et d’autre part, la fonction dilogarithme associée à la courbe modulaire correspondante, dans l’esprit de la conjecture de Zagier pour les courbes elliptiques. Comme corollaire de notre théorème, dans le cas où $N$ est premier, nous répondons à une question de Schappacher et Scholl concernant l’image de l’application régulateur de Beilinson.},
author = {Brunault, François},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {algebraic $K$-theory; Beilinson’s conjecture; $L$-function; special value; regulator; modular form; modular curve; elliptic curve; dilogarithm},
language = {fre},
number = {2},
pages = {215-246},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Valeur en $2$ de fonctions $L$ de formes modulaires de poids $2$ : théorème de Beilinson explicite},
url = {http://eudml.org/doc/272368},
volume = {135},
year = {2007},
}

TY - JOUR
AU - Brunault, François
TI - Valeur en $2$ de fonctions $L$ de formes modulaires de poids $2$ : théorème de Beilinson explicite
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2007
PB - Société mathématique de France
VL - 135
IS - 2
SP - 215
EP - 246
AB - Nous montrons une version explicite du théorème de Beilinson pour la courbe modulaire $X_1(N)$. Ce résultat est la première étape d’un travail reliant, d’une part, la valeur en $2$ de la fonction $L$ d’une forme primitive de poids $2$, et d’autre part, la fonction dilogarithme associée à la courbe modulaire correspondante, dans l’esprit de la conjecture de Zagier pour les courbes elliptiques. Comme corollaire de notre théorème, dans le cas où $N$ est premier, nous répondons à une question de Schappacher et Scholl concernant l’image de l’application régulateur de Beilinson.
LA - fre
KW - algebraic $K$-theory; Beilinson’s conjecture; $L$-function; special value; regulator; modular form; modular curve; elliptic curve; dilogarithm
UR - http://eudml.org/doc/272368
ER -

References

top
  1. [1] S. S. Abhyankar – « Resolution of singularities of arithmetical surfaces », in Arithmetical Algebraic Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963), Harper & Row, 1965, p. 111–152. Zbl0147.20503MR200272
  2. [2] S. J. Arakelov – « An intersection theory for divisors on an arithmetic surface », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 38 (1974), p. 1179–1192, traduction de l’article original russe. Zbl0355.14002MR472815
  3. [3] M. Artin – « Lipman’s proof of resolution of singularities for surfaces », in Arithmetic geometry (Storrs, Conn., 1984), Springer, 1986, p. 267–287. Zbl0602.14011MR861980
  4. [4] A. A. Beĭlinson – « Higher regulators and values of L -functions », in Current problems in mathematics, Vol. 24, Itogi Nauki i Tekhniki, Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., 1984, p. 181–238. Zbl0588.14013MR760999
  5. [5] —, « Higher regulators of modular curves », in Applications of algebraic K -theory to algebraic geometry and number theory, Part I, II (Boulder, Colo., 1983), Contemp. Math., vol. 55, Amer. Math. Soc., 1986, p. 1–34. Zbl0609.14006MR862627
  6. [6] S. Bloch – « Algebraic K -theory and zeta functions of elliptic curves », in Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978), Acad. Sci. Fennica, 1980, p. 511–515. Zbl0454.14011MR562648
  7. [7] J.-B. Bost – « Introduction to compact Riemann surfaces, Jacobians, and abelian varieties », in From number theory to physics (Les Houches, 1989), Springer, 1992, p. 64–211. Zbl0815.14018MR1221101
  8. [8] F. Brunault – « Étude de la valeur en s = 2 de la fonction L d’une courbe elliptique », Thèse, Université Paris 7, décembre 2005. 
  9. [9] P. Cartier – « An introduction to zeta functions », in From number theory to physics (Les Houches, 1989), Springer, 1992, p. 1–63. Zbl0790.11061MR1221100
  10. [10] F. Diamond & J. Im – « Modular forms and modular curves », in Seminar on Fermat’s Last Theorem (Toronto, ON, 1993–1994), CMS Conf. Proc., vol. 17, Amer. Math. Soc., 1995, p. 39–133. Zbl0853.11032MR1357209
  11. [11] T. Dokchitser, R. de Jeu & D. Zagier – « Numerical verification of Beilinson’s conjecture for K 2 of hyperelliptic curves », à paraître dans Compositio Mathematica. Zbl1186.11037
  12. [12] V. G. Drinfel’d – « Two theorems on modular curves », Functional analysis and its applications 7 (1973), p. 155–156, traduction de l’article original russe. Zbl0285.14006MR318157
  13. [13] A. B. Goncharov – « Multiple ζ -values, Galois groups, and geometry of modular varieties », in European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), Progr. Math., vol. 201, Birkhäuser, 2001, p. 361–392. Zbl1042.11042MR1905330
  14. [14] A. B. Goncharov & A. Levin – « Zagier’s conjecture on L ( E , 2 ) », Invent. Math.132 (1998), p. 393–432. Zbl1011.11043MR1621432
  15. [15] K. Kato – « p -adic Hodge theory and values of zeta functions of modular forms », Astérisque (2004), p. 117–290, Cohomologies p -adiques et applications arithmétiques. III. Zbl1142.11336MR2104361
  16. [16] D. S. Kubert & S. Lang – Modular units, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 244, Springer, 1981. Zbl0492.12002MR648603
  17. [17] S. Lang – Fundamentals of Diophantine geometry, Springer, 1983. Zbl0528.14013MR715605
  18. [18] —, Introduction to Arakelov theory, Springer, 1988. MR969124
  19. [19] J. Lipman – « Desingularization of two-dimensional schemes », Ann. Math. (2) 107 (1978), p. 151–207. Zbl0349.14004MR491722
  20. [20] J. I. Manin – « Parabolic points and zeta functions of modular curves », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.36 (1972), p. 19–66. Zbl0243.14008MR314846
  21. [21] L. Merel – « Universal Fourier expansions of modular forms », in On Artin’s conjecture for odd 2 -dimensional representations, Lecture Notes in Math., vol. 1585, Springer, 1994, p. 59–94. Zbl0844.11033MR1322319
  22. [22] J. Nekovář – « Beilinson’s conjectures », in Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 55, Amer. Math. Soc., 1994, p. 537–570. Zbl0799.19003MR1265544
  23. [23] N. Schappacher & A. J. Scholl – « Beilinson’s conjectures on special values of L -functions », in Beilinson’s conjectures on special values of L -functions, Perspectives in Mathematics, vol. 4, Academic Press Inc., 1988, Edited by M. Rapoport, N. Schappacher and P. Schneider, p. 373. Zbl0635.00005MR944987
  24. [24] P. Schneider – « Introduction to the Beĭlinson conjectures », in Beĭlinson’s conjectures on special values of L -functions, Perspect. Math., vol. 4, Academic Press, 1988, p. 1–35. Zbl0673.14007MR944989
  25. [25] A. J. Scholl – « An introduction to Kato’s Euler systems », in Galois representations in arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 254, Cambridge Univ. Press, 1998, p. 379–460. Zbl0952.11015MR1696501
  26. [26] C. L. Siegel – Lectures on advanced analytic number theory, Notes by S. Raghavan. Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, No. 23, Tata Institute of Fundamental Research, 1965. Zbl0278.10001MR262150
  27. [27] J. Wildeshaus – « On an elliptic analogue of Zagier’s conjecture », Duke Math. J.87 (1997), p. 355–407. Zbl0898.14001MR1443532
  28. [28] D. Zagier – « Introduction to modular forms », in From number theory to physics (Les Houches, 1989), Springer, 1992, p. 238–291. Zbl0791.11022MR1221103

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.