Une classe de systèmes dynamiques monotones génériquement Morse-Smale

Maxime Percie du Sert[1]

  • [1] Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Orsay Cedex, F-91405, France

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques (2013)

  • Volume: 22, Issue: 2, page 377-419
  • ISSN: 0240-2963

Abstract

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In this paper, we extend the results of Fusco and Oliva [8], who have proved the transversality of the intersection of the stable and unstable manifolds of hyperbolic periodic orbits, for the dynamical system generated by the equation x ˙ = f ( x ) , defined on an open set of ℝ n , where f ' ( x ) is a cyclic Jacobi matrix. This result is obtained by using the number of sign changes of x ˙ ( t ) , which is a monotone functional along the trajectories. First we extend this automatic transversality result to the intersection of stable and unstable manifolds of two hyperbolic critical elements if there are not two equilibria with same even Morse index. Secondly, we prove that generically with respect to the non-linearity f , the intersection of stable and unstable manifolds of two equilibria with same even Morse index is empty. Then we show that these systems are generically Morse-Smale if in addition the non-linearity is dissipative.

How to cite

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Percie du Sert, Maxime. "Une classe de systèmes dynamiques monotones génériquement Morse-Smale." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 22.2 (2013): 377-419. <http://eudml.org/doc/275373>.

@article{PercieduSert2013,
abstract = {Dans cet article, nous généralisons les résultats de Fusco et Oliva [8], qui ont montré la transversalité de l’intersection des variétés stable et instable associées à des orbites périodiques hyperboliques, pour un système dynamique de la forme $\dot\{x\}=f(x)$ (sur un ouvert de $\{\mathbb\{R\}\}^n$) où $f^\{\prime \}(x)$ est une matrice de Jacobi cyclique. Dans [8], cette propriété est obtenue en utilisant le nombre de changements de signe de $\dot\{x\}(t)$ qui est une fonctionnelle monotone le long des orbites. Tout d’abord, nous étendons ce résultat de transversalité automatique à l’intersection des variétés stable et instable de deux éléments critiques hyperboliques si ceux-ci ne sont pas deux équilibres de même indice de Morse pair. Ensuite, nous montrons que génériquement en la non-linéarité $f$, l’intersection des variétés stable et instable de deux équilibres de même indice de Morse pair est vide. Enfin nous montrons que ces systèmes sont génériquement de type Morse-Smale si, en outre, la non-linéarité est dissipative.},
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TY - JOUR
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