On étudie la décroissance à l’infini des coefficients de Fourier des fonctions $2\pi$-périodiques intégrables. Soit en particulier ${\lambda }_n$ une suite lacunaire d’entiers : ${\lambda }_{n+1}\ge 3{\lambda }_n$. On appelle suite $k$-lacunaire associée la suite ${\mu }_N^k$ des entiers qui s’écrivent sous la forme $\pm {\lambda }_{n_1}\pm {\lambda }_{n_2}\pm \cdots \pm {\lambda }_{n_k}$, $n_1\>n_2\>\cdots \>n_k$. On montre que si ${\int }_0^{2\pi }\left|f\right|({\mathrm{Log}}^{+}\left|f\right|{)}^{k/2}dx$ est fini, il en est de même de ${\sum }_N|\widehat{f}({\mu }_N^k){|}^2$. D’autre part, si ${\lambda }_n$ satisfait à une condition plus restrictive, quel que soit $1\<p\le 2$, si ${\int }_0^{2\pi }|f{|}^{p}dx$ est fini il en est de même de ${\sum }_k(p-1){\sum }_N|\widehat{f}({\mu }_N^k){|}^2$. Ces résultats sont généralisés à d’autres groupes que $\mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$, et...

$\Lambda$ étant une suite de nombres réels, soit $B\left(\Lambda \right)$ l’ensemble normal associé. Pour $A\subset ℝ$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A=B\left(\Lambda \right)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A\subset \mathbb{Z}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q\in ℝ\left[X\right]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles...

On sait (Cobham) qu’une suite $2$- et $3$-automatique est une suite rationnelle. Une question de Loxton et van der Poorten étend ce résultat au cas $2$- et $3$-régulier. On montre dans cet article que, si une suite vérifie une récurrence $2$- et $3$-mahlérienne d’ordre un, elle est rationnelle.

Étant donné un problème des moments classique de Hamburger, supposé indéterminé, on montre qu’une mesure $\mu$ solution est $m$-canonique (N. I. Akhiezer, Oliver and Boyd, Edinburgh, 1965, p. 115) si et seulement si l’adhérence $H$ de l’espace des polynômes est exactement de codimension $m$ dans l’espace de Hilbert $L^2\left(\mu \right)$. On déduit de là des résultats de perturbation de mesures $m$-canoniques généralisant ceux de C. Berg et J.-P. R. Christensen (Ann. Inst. Fourier, 31-3 (1981), 99–114), établis pour...

Soit $S$ une partie finie de ${\mathbf{P}}^n$, $t$ un entier positif et ${\omega }_t\left(S\right)$ le plus petit degré des hypersurfaces de ${\mathbf{P}}^n$ ayant en chaque point de S une singularité de multiplicité $\ge t$. Un théorème d’existence de J.-P. Demailly concernant le prolongement des fonctions analytiques définies au voisinage d’une sous-variété linéaire de ${\mathbf{C}}^n$ nous permet d’obtenir des minorations fines de ${\omega }_t\left(S\right)/t$ pour tout $t$. En particulier, nous montrons $$({\omega }_{t_1}\left(S\right)+n-a-1)/(t_1+n-1)\le {\omega }_t\left(S\right)/t$$ où $a$ est la dimension de l’ensemble des points singuliers non...

On étudie certaines propriétés arithmétiques de fonctions analytique $f$ au voisinage de $0,{\sum }_0^{+\infty }{a}_n{x}^n$ où $a_n\in \mathbb{Q}$ et $f$ satisfaisant une équation fonctionnelle de Poincaré.