Pour les fonctions $f\left(x\right)$ dont les coefficients de Fourier $c_n$ satisfont à $\Sigma |c_n{|}^2{\lambda }_n\<\infty$, la capacité est évaluée pour l’ensemble où la fonction maximale satisfait à $f^{*}\left(x\right)\ge \lambda$.

Assume $f_1,...,f_N$ a finite set of functions in $H^{\infty }\left(D\right)$, the space of bounded analytic functions on the open unit disc. We give a sufficient condition on a function $f$ in $H^{\infty }\left(D\right)$ to belong to the norm-closure of the ideal $I(f_1,...,f_N)$ generated by $f_1,...,f_N$, namely the property $$\left|f\right(z\left)\right|\le \alpha \left(\right|f_1\left(z\right)|+...+|f_N\left(z\right)\left|\right)\text{for}z\in D$$ for some function $\alpha$ : ${\mathbf{R}}_{+}\to {\mathbf{R}}_{+}$ satisfying ${lim}_{t\to 0}\alpha \left(t\right)/t=0.$ The main feature in the proof is an improvement in the contour-construction appearing in L. Carleson’s solution of the corona-problem. It is also shown that the property $$\left|f\left(z\right)\right|\le C\underset{1\le j\le N}{max}\left|f_j\left(z\right)\right|\text{for}z\in D$$ ...

Given an irreducible algebraic curves $A$ in ${ℂ}^N$, let $m_d$ be the dimension of the complex vector space of all holomorphic polynomials of degree at most $d$ restricted to $A$. Let $K$ be a nonpolar compact subset of $A$, and for each $d=1,2,...,$ choose $m_d$ points ${\left\{A_{dj}\right\}}_{j=1,...,m_d}$ in $K$. Finally, let ${\Lambda }_d$ be the $d$-th Lebesgue constant of the array $\left\{A_{dj}\right\}$; i.e., ${\Lambda }_d$ is the operator norm of the Lagrange interpolation operator $L_d$ acting on $C\left(K\right)$, where $L_d\left(f\right)$ is the Lagrange interpolating polynomial for $f$ of degree $d$ at the points ${\left\{A_{dj}\right\}}_{j=1,...,m_d}$. Using techniques...

We give a new proof of a Phragmén Lindelöf theorem due to W.H.J. Fuchs and valid for an arbitrary open subset $U$ of the complex plane: if $f$ is analytic on $U$, bounded near the boundary of $U$, and the growth of $j$ is at most polynomial then either $f$ is bounded or $U\supset \left\{\right|z|\>r\}$ for some positive $r$ and $f$ has a simple pole.

Writing $(T_R^{\lambda }f)\widehat{}\left(\xi \right)=(1-|\xi {|}^2/R^2{)}_{+}^{\lambda }\widehat{f}\left(\xi \right)$. E. Stein conjectured $$\parallel {\left(\sum _j|T_{R_j}^{\lambda }{f}_i{|}^2\right)}^{1/2}{\parallel }_p\le C\parallel {\left(\sum _j|f_j{|}^2\right)}^{1/2}{\parallel }_p$$ for $\lambda \>0$, $\frac{4}{3}\le p\le 4$ and $C=C_{\lambda ,p}$. We prove this conjecture. We prove also $f\left(x\right)={lim}_{j\to \infty }{T}_{2^j}^{\lambda }f\left(x\right)$ a.e. We only assume $\frac{4}{3+2\lambda }\<p\<\frac{4}{1-2\lambda }$.

Soit $F$ un sous-ensemble compact de ${\mathbf{R}}^m$ ayant des points intérieurs et soit ${\mu }_{\alpha }^F$ la distribution d’équilibre sur $F$ de masse totale 1 par rapport au noyau $r^{\alpha -m}$ avec $0\<\alpha \<2$ pour $m\ge 2$, et $0\<\alpha \<1$ pour $m=1$. La restriction de ${\mu }_{\alpha }^F$ à l’intérieur de $F$ est absolument continue et a pour densité $f_{\alpha }^F$. On donne une formule explicite pour $f_{\alpha }^F$ et, pour une classe générale d’ensembles $F$, on démontre que $f_{\alpha }^F$, définie en réalité sur un ensemble de mesure de Lebesgue nulle, croît comme la distance à la frontière $\partial F$ de $F$ élevée à la puissance...