Uniformization of Laumon-Rapoport-Stuhler varieties and Drinfeld-Carayol conjecture

Thomas Hausberger[1]

  • [1] Université Montpellier II, I3M - UMR CNRS 5149, cc 051, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex 5 (France)

Annales de l’institut Fourier (2005)

  • Volume: 55, Issue: 4, page 1285-1371
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Let us consider Laumon-Rapoport-Stuhler modular varieties ℰ ℓ ℓ for “ D - elliptic sheaves”, which are defined over a function field F in one variable over a finite field, for a division algebra D of dimension d 2 over F . We show that these varieties admit, at a place o of F where D o is a skew field of invariant 1 / d , a rigid-analytic uniformization by Drinfeld’s space Ω d , or by the coverings Σ n d of Ω d (depending on the level structure). This result is the analogue of Čerednik’s theorem, which is well known in the number field case. As an application, we prove a conjecture of Carayol’s : the inductive limit Ψ d over n of the ℓ -adic cohomology groups with support, in median degree, of the coverings Σ n d - on wich the product GL d ( F o ) × D o * × W F o acts - yields a geometrical simultaneous realization of the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences. Our proof is of “global” nature : using the uniformization theorem, we compare the local representation Ψ d to the global cohomology of the moduli variety ℰ ℓ ℓ .

How to cite

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Hausberger, Thomas. "Uniformisation des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler et conjecture de Drinfeld-Carayol." Annales de l’institut Fourier 55.4 (2005): 1285-1371. <http://eudml.org/doc/116219>.

@article{Hausberger2005,
abstract = {Considérons les variétés de “$D$-faisceaux elliptiques” $\{\mathcal \{E\}\}\ell \ell $ introduites par Laumon, Rapoport et Stuhler, définies sur un corps de fonctions $F$ d’une variable sur un corps fini, où $D$ est une algèbre de division de dimension $d^2$ sur $F$. Nous montrons que ces variétés admettent, en une place $o$ de $F$ où $D_o$ est un corps gauche d’invariant $1/d$, une uniformisation rigide-analytique par l’espace de Drinfeld $\Omega ^d$, ou par les revêtements $\Sigma _n^d$ de $\Omega ^d$ (selon la structure de niveau). Ce résultat constitue l’analogue du théorème de Čerednik bien connu dans le cas des corps de nombres. Comme application, nous démontrons une conjecture de Carayol : la limite inductive $\Psi _d$, suivant $n$, des groupes de cohomologie $\ell $-adique avec support, en degré médian, des revêtements $\Sigma _n^d$ - sur laquelle agit le produit GL$_d(F_o)\times D_o^*\times W_\{F_o\}$ - constitue une réalisation géométrique simultanée des correspondances locales de Langlands et de Jacquet-Langlands (du moins pour les cuspidales). Notre preuve est de nature “globale” : via le théorème d’uniformisation, on compare la représentation locale $\Psi _d$ à la cohomologie globale de la variété modulaire $\{\mathcal \{E\}\}\ell \ell $.},
affiliation = {Université Montpellier II, I3M - UMR CNRS 5149, cc 051, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex 5 (France)},
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ER -

References

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  1. I. Badulescu, Correspondance entre GL n et ses formes intérieures en caractéristique positive, (janvier 1999) 
  2. I. Badulescu, Orthogonalité des caractères pour GL n sur un corps local de caractéristique non nulle, Manuscripta Math. 101 (2000), 49-70 Zbl0957.20027MR1737224
  3. V.G. Berkovich, Étale cohomology for non-archimedean analytic spaces, Publ. Math. IHÉS 78 (1993), 5-161 Zbl0804.32019MR1259429
  4. V.G. Berkovich, Vanishing cycles for formal schemes, Invent. Math. 115 (1994), 539-571 Zbl0791.14008MR1262943
  5. V.G. Berkovich, Étale equivariant sheaves on p -adic analytic spaces, (1995) MR1648064
  6. J. Bernstein, A.V. Zelevinski, Representations of the group GL ( n , F ) , where F is a non-archimedean local field, Russ. Math. Surv. 31 (1976), 1-68 Zbl0348.43007
  7. J.-F. Boutot, H. Carayol, Uniformisation p -adique des courbes de Shimura : les théorèmes de Cerednik et de Drinfeld, Astérisque 196-197 (1991), 45-149 Zbl0781.14010MR1141456
  8. P. Boyer, Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld et conjecture de Langlands locale, Inv. Math. 138 (1999), 573-629 Zbl1161.11408MR1719811
  9. H. Carayol, Variétés de Drinfeld compactes, d'après Laumon, Rapoport et Stuhler, Séminaire Bourbaki 756 (1991-1992) Zbl0801.14005
  10. H. Carayol, Non-abelian Lubin-Tate theory, Automorphic forms, Shimura varieties and -functions (1990), 15-39, Academic Press Zbl0704.11049
  11. H. Carayol, Preuve de la conjecture de Langlands locale pour GL n : travaux de Harris-Taylor et Henniart, 857 (1998-1999) Zbl0958.11077
  12. I.V. Cerednik, Uniformization of algebraic curves by discrete arithmetic subgroups of PGL 2 ( k w ) with compact quotients, Math. USSR Sbornik 29 (1976), 55-78 Zbl0379.14010
  13. P. Deligne, (1973) 
  14. P. Deligne, D. Husemoller, Survey of Drinfeld modules, Current Trends in Arithmetical Algebraic Geometry 67 (1987), 25-91, Amer. Math. Soc. Zbl0627.14026
  15. P. Deligne, D. Kazhdan, M.-F. Vignéras, Représentations des algèbres simples p -adiques, Représentations des groupes réductifs sur un corps local (1984), Hermann Zbl0583.22009
  16. V.G. Drinfeld, Elliptic Modules, Math. USSR Sbornik 23 (1974), 561-592 Zbl0321.14014MR384707
  17. V.G. Drinfeld, Elliptic Modules II, Math. USSR Sbornik 31 (1977), 159-170 Zbl0386.20022
  18. V.G. Drinfeld, Commutative subrings of certain noncommutative rings, Fonct. Anal. Appl. 11 (1977), 9-12 Zbl0368.14011MR476732
  19. V.G. Drinfeld, Coverings of p -adic symmetric domains, Funct. Anal. Appl. 10 (1976), 107-115 Zbl0346.14010MR422290
  20. V.G. Drinfeld, (1980) 
  21. V.G. Drinfeld, Varieties of modules of F -sheaves, Funct. Anal. Appl. 21 (1987), 107-122 Zbl0665.12013MR902291
  22. V.G. Drinfeld, Cohomology of compactified manifolds of modules of F -sheaves of rank 2 , J. Soviet Math. 46 (1989), 1789-1821 Zbl0672.14008MR918745
  23. G. Faltings, A relation between two moduli spaces studied by V.G. Drinfeld, (2001) Zbl1062.14059MR1936369
  24. G. Faltings, Groupschemes with strict 𝒪 -action, (2002) Zbl1013.11079
  25. L. Fargues, Correspondances de Langlands locales dans la cohomologie des espaces de Rapoport-Zink, (2001) Zbl1050.11002
  26. S.I. Gelfand, Yu.I. Manin, Homological Algebra, (1999), Springer-Verlag MR1698374
  27. A. Genestier, Espaces symétriques de Drinfeld, Astérisque 234 (1996) Zbl0912.14015MR1393015
  28. R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, (1998), Hermann Zbl0080.16201MR345092
  29. A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, III : étude cohomologique des faisceaux cohérents, Publ. Math. IHÉS 11 (1961) Zbl0118.36206
  30. A. Grothendieck et al., SGA 4 : Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, 305 (1973), Springer-Verlag MR354654
  31. A. Grothendieck et al., SGA 5 : Cohomologie ł -adique et fonctions L , 589 (1977), Springer-Verlag Zbl0407.18008MR463174
  32. M. Harris, Supercuspidal representations in the cohomology of Drinfel'd upper half spaces ; elaboration of Carayol's program, Invent. Math. 129 (1997), 75-119 Zbl0886.11029MR1464867
  33. M. Harris, Galois properties of cohomological automorphic forms on GL ( n ) , J. Math. Kyoto Univ. 39 (1999), 299-318 Zbl1017.11026MR1709295
  34. M. Harris, R. Taylor, The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Ann. Math. Studies 151 (2001) Zbl1036.11027
  35. G. Henniart, On the local Langlands conjecture for GL ( n ) : the cyclic case, Anal. Math. 123 (1986), 145-203 Zbl0588.12010MR825841
  36. G. Henniart, Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL ( n ) sur un corps p -adique, Inv. Math. 139 (2000), 439-455 Zbl1048.11092MR1738446
  37. G. Henniart, La correspondance de Langlands locale : caractérisation et propriétés fonctorielles 
  38. L. Illusie, Complexe cotangent et déformations I, II,, 239, 283 (1971, 1973), Springer Zbl0224.13014MR491680
  39. L. Lafforgue, Chtoucas de Drinfeld et conjecture de Ramanujan-Petersson, 243 (1997), Soc. Math. France Zbl0899.11026
  40. G. Laumon, Cohomology of Drinfeld Modular Varieties, part I, (1996), Cambridge University Press Zbl0837.14018MR1381898
  41. G. Laumon, M. Rapoport, U. Stuhler, 𝒟 -elliptic sheaves and the Langlands correspondence, Inv. Math. 113 (1993), 217-338 Zbl0809.11032MR1228127
  42. B. Lemaire, Intégrabilité locale des caractères-distributions de GL n ( F ) , où F est un corps local non archimédien de caractéristique quelconque, Comp. Math. 100 (1996), 41-75 Zbl0856.22024MR1377408
  43. W. Messing, Crystals associated to Barsotti-Tate groups, 264 (1972), Springer-Verlag Zbl0243.14013MR347836
  44. D. Mumford, An analytic construction of degenerating curves over complete local rings, Comp. Math. 24 (1972), 239-272 Zbl0228.14011MR352106
  45. G.A. Mustafin, Nonarchimedean uniformization, Math. USSR Sbornik 34 (1978), 187-214 Zbl0411.14006
  46. M. Rapoport, Th. Zink, Period spaces for p -divisible groups, 141 (1996), Amer. Math. Soc. Zbl0873.14039MR1393439
  47. M. Raynaud, Construction analytique de courbes en géométrie non archimédienne (d'après David Mumford), Séminaire Bourbaki 383 (1974) Zbl0294.14017
  48. M. Raynaud, Géomérie analytique rigide d'après Tate, Kiehl,..., Table ronde analyse non archimédienne, Bull. Soc. Math. Fr. 39-40 (1974), 319-327 Zbl0299.14003MR470254
  49. J. Rogawski, Representations of GL n and division algebras over a p -adic field, Duke Math. J. 50 (1983), 161-196 Zbl0523.22015MR700135
  50. P. Schneider, U. Stuhler, The cohomology of p -adic symmetric spaces, Inv. Math. 105 (1991), 47-122 Zbl0751.14016MR1109620
  51. J. Tate, Rigid analytic spaces, Invent. Math. 12 (1971), 257-289 Zbl0212.25601MR306196
  52. A. Weil, Basic Number Theory, (1985), Springer-Verlag Zbl0823.11001
  53. Th. Zink, Isogenien Formaler Gruppen Über einem Lokal Noetherschen Schema, Math. Nachr 99 (1980), 273-283 Zbl0481.14017MR637665
  54. Th. Zink, Cartiertheorie Kommutativer Formaler Gruppen, (1984), Teubner, Leipzig Zbl0578.14039MR767090

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