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On désigne par $r(n,m)$ le nombre de partitions de l’entier $n$ en parts supérieures ou égales à $m$, et $R(n,m)=r(n-m,m)$ le nombre de partitions de $n$ de plus petite part $m$. Dans un précédent article (voir []) un développement asymptotique de $r(n,m)$ est obtenu uniformément pour $1\le m=O\left(\sqrt{n}\right)$ ; on complète ce développement uniformément pour $1\le m=\left(n{log}^{-3}n\right)$. Afin de prolonger les résultats jusqu’à $m\le n$, on donne un encadrement de $r(n,m)$ valable pour $n^{2/3}\le m\le n$ en utilisant la relation $r(n,m)={\sum }_{t=1}^{\lfloor n/m\rfloor }P(n-(m-1)t,t)$ où $P(i,t)$ désigne le nombre de partitions de $i$ en exactement $t$ parts. On donne aussi une...

Dans cet article, on s’intéresse au problème suivant. Soient $p$ un nombre premier, $S\subset {𝔽}_p$ et $𝒫\subset \{P\in {𝔽}_p\left[X\right]:degP\le d\}$. Quel est le plus grand entier $k$ tel que pour toutes paires de sous-ensembles disjoints $𝒜,ℬ$ de ${𝔽}_p$ vérifiant $|𝒜\cup ℬ|=k$, il existe $P\in 𝒫$ tel que $P\left(x\right)\in S$ si $x\in 𝒜$ et $P\left(x\right)\notin S$ si $x\in ℬ$  ? Ce problème correspond à l’étude de la complexité de certaines familles d’ensembles pseudo-aléatoires. Dans un premier temps, nous rappelons la définition de cette complexité et resituons le contexte des ensembles pseudo-aléatoires. Ensuite, nous exposons les différents...

On désigne par $r(n,m)$ le nombre de partitions de l’entier $n$ en parts supérieures ou égales à $m$. En partant de l’estimation asymptotique de $r(n,m)$ exprimée à l’aide d’un paramètre $\sigma$ défini implicitement en fonction de $n$ et $m$, nous éliminons ce paramètre en utilisant la formule sommatoire d’Euler-Maclaurin, pour obtenir un développement asymptotique de $r(n,m)$ valable pour $n\to +\infty$, et $1\le m\le \Gamma \sqrt{n}$, $\Gamma$ étant un réel quelconque.