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Approximation of C -functions without changing their zero-set

F. BrogliaA. Tognoli — 1989

Annales de l'institut Fourier

For a C function ϕ : M (where M is a real algebraic manifold) the following problem is studied. If ϕ - 1 ( 0 ) is an algebraic subvariety of M , can ϕ be approximated by rational regular functions f such that f - 1 ( 0 ) = ϕ - 1 ( 0 ) ? We find that this is possible if and only if there exists a rational regular function g : M such that g - 1 ( 0 ) = ϕ - 1 ( 0 ) and g(x) · ϕ ( x ) 0 for any x in n . Similar results are obtained also in the analytic and in the Nash cases. For non approximable functions the minimal flatness locus is also studied....

Some remarks about proper real algebraic maps

L. BerettaA. Tognoli — 2000

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

Nel presente lavoro si studiano le applicazioni polinomiali proprie φ : R n R q . In particolare si prova: 1) se φ : R n R è un'applicazione polinomiale tale che φ - 1 y è compatto per ogni y R , allora φ è propria; 2) se φ : R n R q è polinomiale a fibra compatta e φ R n è chiuso in R q allora φ è propria; 3) l'insieme delle applicazioni polinomiali proprie di R n in R q è denso, nella topologia C , nello spazio delle applicazioni C di R n in R q .

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