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Diophantine Undecidability of Holomorphy Rings of Function Fields of Characteristic 0

Laurent Moret-BaillyAlexandra Shlapentokh — 2009

Annales de l’institut Fourier

Let K be a one-variable function field over a field of constants of characteristic 0. Let R be a holomorphy subring of K , not equal to K . We prove the following undecidability results for R : if K is recursive, then Hilbert’s Tenth Problem is undecidable in R . In general, there exist x 1 , ... , x n R such that there is no algorithm to tell whether a polynomial equation with coefficients in ( x 1 , ... , x n ) has solutions in R .

L'octogone régulier et la signature des formes quadratiques entières non singulières

Catherine BaillyMaria de Jesus Cabral — 2003

Annales de l’institut Fourier

La formule généralisant la loi de réciprocité quadratique de Legendre et exprimant le reste par huit de la signature d'une forme quadratique entière non dégénérée à l'aide d'une somme de Gauss est attribuée par Milnor à Milgram, la faisant remonter à Braun. Le formalisme de Witt la réduit au cas de dimension 1 que Chandrasekharan attribue à Cauchy et Kronecker. Braun soulignait que les preuves de ces formules nécessitent des moyens d'analyse. Une propriété métrique de l'octogone...

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