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Soit $q\in \mathbb{N}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $s_q\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme $$G(x,y,\theta ;\alpha ,𝐡)=\sum _{x\<n\le x+y}exp\left(2i\pi ({\alpha }_1{s}_q\left(h_{1}n\right)+\cdots +{\alpha }_r{s}_q\left(h_{r}n\right)+\theta n)\right),$$ pour $r\in {\mathbb{N}}^{*}$, $𝐡\in {\mathbb{N}}^{*r}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $𝐡$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $𝐡$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet...

We present various results on the number of prime factors of the parts of a partition of an integer. We study the parity of this number, the extremal orders and we prove a Hardy-Ramanujan type theorem. These results show that for almost all partitions of an integer the sequence of the parts satisfies similar arithmetic properties as the sequence of natural numbers.

Dans cet article, on s’intéresse au problème suivant. Soient $p$ un nombre premier, $S\subset {𝔽}_p$ et $𝒫\subset \{P\in {𝔽}_p\left[X\right]:degP\le d\}$. Quel est le plus grand entier $k$ tel que pour toutes paires de sous-ensembles disjoints $𝒜,ℬ$ de ${𝔽}_p$ vérifiant $|𝒜\cup ℬ|=k$, il existe $P\in 𝒫$ tel que $P\left(x\right)\in S$ si $x\in 𝒜$ et $P\left(x\right)\notin S$ si $x\in ℬ$  ? Ce problème correspond à l’étude de la complexité de certaines familles d’ensembles pseudo-aléatoires. Dans un premier temps, nous rappelons la définition de cette complexité et resituons le contexte des ensembles pseudo-aléatoires. Ensuite, nous exposons les différents...