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### Energia di campi spazio-temporali emisimmetrici.

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

### Unicità delle soluzioni limitate e comportamento asintotico delle soluzioni dell'equazione parabolica $Lz=f(x,t,z,p)$ con $f(x,t,z,p)$ funzione discontinua. Nota II

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti

The theorems stated in § 1 are proved. Analogous theorems concerning the solutions of equation (1.1) satisfying the condition $\frac{\partial}{\partial\nu}z(x,t)|_{x\in\partial\Omega}=\psi(x,t,z)$ with $\psi(x,t,z)$ defined in $S=\{x\in\partial\Omega\,;t,z\in J\}$, measurable, increasing in $z$, are also proved.

### Unicità delle soluzioni limitate e comportamento asintotico delle soluzioni dell'equazione parabolica $Lz=f(x,t,z,p)$, con $f(x,t,z,p)$ funzione discontinua. Nota I

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti

Consider the parabolic equation: $1\sum _{i,j}^{1\cdots m}{a}_{ij}\left(x,t\right)\frac{{\partial }^{2}z\left(x,t\right)}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}}-\frac{\partial z\left(x,t\right)}{\partial t}=f\left(x,t,z,p\right),$ assuming that$f(x,t,z,p)$, defined in $\overline{D}=\{x\in\overline{\Omega};t,z,p\in J=(-\infty,+\infty)\}$, is measurable and bounded on every bounded set of $\overline{D}$. Given an appropriate definition of solution, we prove that if $f(x,t,z,p)$ is monotone increasing in $z$, then all solutions of (1) satisfying the condition $z(x,t)|_{x\in\partial\Omega}=0$ have the same asymptotic behaviour for $t\to+\infty$. Moreover, if there exists a solution bounded on $J$, this is the only bounded solution.

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