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La systole d’une variété riemannienne compacte non simplement connexe est la plus petite longueur d’une courbe fermée non contractile ; le rapport systolique est le quotient ${\left(\mathrm{systole}\right)}^n/\mathrm{volume}$. Sa borne supérieure, sur l’ensemble des métriques riemanniennes, est fini pour une large classe de variétés, dont les $K(\pi ,1)$. On étudie le rapport systolique optimal des variétés de Bieberbach compactes, orientables de dimension $3$ qui ne sont pas des tores, et on démontre en utilisant des constructions de métriques...

A compact manifold is called if it carries a flat Riemannian metric. Bieberbach manifolds are aspherical, therefore the supremum of their systolic ratio, over the set of Riemannian metrics, is finite by a fundamental result of M. Gromov. We study the optimal systolic ratio of compact $3$-dimensional orientable Bieberbach manifolds which are not tori, and prove that it cannot be realized by a flat metric. We also highlight a metric that we construct on one type of such manifolds ($C_2$) which has interesting...