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Soient $V$ un anneau de valuation discrète complet, d’inégales caractéristiques $(0,p)$, et $𝒳$ un schéma formel projectif et lisse sur le spectre formel de $V$. Soit $𝒵$ un diviseur ample sur $𝒳$ et $𝒰$ l’ouvert affine complémentaire du diviseur. Dans cette situation, P. Berthelot a construit sur $𝒳$ un anneau d’opérateurs différentiels arithmétiques, à coefficients surconvergents le long de $𝒵$, noté $D^{†}\left(\infty \right)$. Nous montrons ici que $𝒳$ est $D^{†}\left(\infty \right)$-affine. Ce résultat renforce l’intuition que la catégorie des $D^{†}\left(\infty \right)$-modules cohérents est...

We prove a comparison theorem between Fourier transform without support and and Fourier transform with compact support in the context of arithmetic $𝒟$-modules.

Un résultat important de la théorie des groupes, démontré indépendemment dans les années 80 par Beilinson et Bernstein, Brylinski et Kashiwara, est un résultat d’affinité des $𝒟$-modules sur la variété de drapeaux d’un groupe réductif sur le corps des nombres complexes. Nous donnons ici un analogue arithmétique de ce résultat, pour la catégorie des $𝒟$-modules arithmétiques sur la variété de drapeaux d’un groupe réductif sur un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques $(0,p)$.

Nous montrons que le $𝒟$-module arithmétique associé à un $F$-isocristal surconvergent sur une courbe lisse est holonome. Nous montrons d’abord que les $F$-isocristaux unipotents sont des $𝒟$-modules holonomes en utilisant le fait que de tels $F$-isocristaux proviennent de $F$-isocristaux logarithmiques. Nous déduisons le cas général du théorème de réduction semi-stable pour les $F$-isocristaux sur les courbes de Matsuda-Trihan qui repose sur le théorème de monodromie $p$-adique démontré indépendamment par André,...