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Numerical methods for phase transition problems

Claudio Verdi — 1998

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

Nel presente articolo si illustrano alcuni dei principali metodi numerici per l'approssimazione di modelli matematici legati ai fenomeni di transizione di fase. Per semplificare e contenere l'esposizione ci siamo limitati a discutere con un certo dettaglio i metodi più recenti, presentandoli nel caso di problemi modello, quali il classico problema di Stefan e l'evoluzione di superficie per curvatura media, solo accennando alle applicazioni e modelli più generali.

Γ -convergence of discrete approximations to interfaces with prescribed mean curvature

Giovanni BellettiniMaurizio PaoliniClaudio Verdi — 1990

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni

The numerical approximation of the minimum problem: min A Ω F ~ A , is considered, where F ~ A = P Ω A + cos θ H n - 1 A Ω - A κ . The solution to this problem is a set A Ω R n with prescribed mean curvature κ and contact angle θ at the intersection of A with Ω . The functional F ~ is first relaxed with a sequence of nonconvex functionals defined in H 1 Ω which, in turn, are discretized by finite elements. The Γ -convergence of the discrete functionals to F ~ as well as the compactness of any sequence of discrete absolute minimizers are proven.

Convex approximations of functionals with curvature

Giovanni BellettiniMaurizio PaoliniClaudio Verdi — 1991

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni

We address the numerical minimization of the functional F v = Ω D v + Ω μ v d H n - 1 - Ω x v d x , for v B V Ω ; - 1 , 1 . We note that F can be equivalently minimized on the larger, convex, set B V Ω ; - 1 , 1 and that, on that space, F may be regularized with a sequence { F ϵ ( v ) = Ω ϵ 2 + D v 2 + Ω μ v d H n - 1 - Ω x v d x } ϵ of regular functionals. Then both F and F ϵ can be discretized by continuous linear finite elements. The convexity of the functionals in B V Ω ; - 1 , 1 is useful for the numerical minimization of F . We prove the Γ - L 1 Ω -convergence of the discrete functionals to F and present a few numerical examples.

Semigroup approach to the Stefan problem with non-linear flux

Enrico MagenesClaudio VerdiAugusto Visintin — 1983

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni

Un problema di Stefan a due fasi con condizione di flusso non lineare sulla parte fissa della frontiera è affrontato mediante la teoria dei semigruppi di contrazione in L 1 . Si dimostra l'esistenza e l’unicità della soluzione nel senso di Crandall-Liggett e Bénilan.

Semigroup approach to the Stefan problem with non-linear flux

Enrico MagenesClaudio VerdiAugusto Visintin — 1983

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti

Un problema di Stefan a due fasi con condizione di flusso non lineare sulla parte fissa della frontiera è affrontato mediante la teoria dei semigruppi di contrazione in L 1 . Si dimostra l'esistenza e l’unicità della soluzione nel senso di Crandall-Liggett e Bénilan.

Adapting meshes and time-steps for phase change problems

Ricardo H. NochettoAlfred SchmidtClaudio Verdi — 1997

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni

We address the numerical approximation of the two-phase Stefan problem and discuss an adaptive finite element method based on rigorous a posteriori error estimation and refinement/coarsening. We also investigate how to restrict coarsening for the resulting method to be stable and convergent. We review implementation issues associated with bisection and conclude with simulations of a persistent corner singularity, for which adaptivity is an essential tool.

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