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La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l’ordre $r_{\infty}$ du zéro en $s = 1$ de la fonction $L$ d’une courbe elliptique $E$ définie sur $𝐐$ est égal au rang $r$ du groupe de ses points rationnels. On sait démontrer cette conjecture si $r_{\infty} = 0$ ou $1$ , mais on n’a aucun résultat reliant $r_{\infty}$ et $r$ si $r_{\infty} \geq 2$ . Nous expliquerons comment Kato démontre que la fonction $L$ $p$ -adique attachée à $E$ a, en $s = 1$ , un zéro d’ordre supérieur ou égal à $r$ .

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$p$ -adic representations of a local field. (Représentations $p$ -adiques d'un corps local.)

Périodes p-adiques des variétés abéliennes.

Fonctions zêta p-adiques en s = 0.

Fonctions $L$ $p$ -adiques

Les conjectures de monodromie $p$ -adiques

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer $𝐩$ -adique

Résidu en s = 1 des fonctions zeta p-adiques.

Une construction de

$p$ -adic interpolation of special values of Hecke L-functions