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The Schreier Property and Gauss' Lemma

Daniel D. Anderson;  Muhammad Zafrullah — 2007

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

Let D be an integral domain with quotient field D . Recall that D is Schreier if D is integrally closed and for all x , y , z ∈ D ∖ { 0 } , x | y z implies that x = r ⋅ s where r | y e s | z . A GCD domain is Schreier. We show that an integral domain D is a GCD domain if and only if (i) for each pair a , b ∈ D ∖ { 0 } , there is a finitely generated ideal B such that a ⁢ D ⁢ ⋂ b ⁢ D = B v and (ii) every quadratic in D ⁢ [ X ] that is a product of two linear polynomials in K ⁢ [ X ] is a product of two linear polynomials in D ⁢ [ X ] . We also show that D is Schreier if and only if every polynomial...

Unique factorization in non-atomic integral domains

D. D. Anderson;  J. L. Mott;  M. Zafrullah — 1999

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

In un UFD ogni elemento non unitario ≠ 0 può essere espresso in modo unico nella forma u ⁢ p 1 a 1 ⁢ … ⁢ p n a n dove u è un elemento unitario, i p i sono primi non associati e ogni a i ≥ 1 . Per studiare questa fattorizzazione in un ambito non atomico, si prende in esame un certo numero di generalizzazioni della potenza di un primo p n . Per numerose di queste generalizzazioni si prova che si ottiene una forma di fattorizzazione unica e la si mette in relazione, nel caso in cui R è un dominio di integrità, con rappresentazioni di carattere...

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