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Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible

Denis Serre — 1997

Annales de l'institut Fourier

Soit ρ , u , e , S et p les variables usuelles qui décrivent l’état d’un fluide en coordonnées eulériennes. Le domaine physique occupé par le fluide est a priori ℝ d tout entier, mais ρ peut être nul en dehors d’un compact K ( t ) . On choisit l’équation d’état d’un gaz parfait, p = ( γ - 1 ) ρ e , où γ ∈ [ 1 , 1 + 2 / d ] est une constante. Le cas γ = 1 + 2 / d est celui du gaz mono-atomique. Dans la limite ρ → 0 , les collisions sont rares et on est tenté d’approcher le mouvement des particules par un mouvement...

Systèmes d'EDO invariants sous l'action de systèmes hyperboliques d'EDP

Denis Serre — 1989

Annales de l'institut Fourier

Lorsque tous les champs caractéristiques d’un système hyperbolique riche sont linéairement dégénérés, les opérateurs résolvants sont bien définis et opèrent sur l’ensemble des solutions de certains systèmes d’équations différentielles ordinaires. Celles-ci peuvent être implicites ou explicites. Dans le cas implicite, on montre que toutes les solutions sont presque-périodiques; de plus elles seront toutes périodiques pourvu que l’une d’entre elles le soit. Dans le cas explicite, on définit un opérateur...

Solutions globales ( - ∞ < t < + ∞ ) des systèmes paraboliques de lois de conservation

Denis Serre — 1998

Annales de l'institut Fourier

Nous considérons ici des solutions particulières des systèmes paraboliques de lois de conservation dans le domaine x > 0 ou bien pour x ∈ ℝ : ∂ t u + ∂ x f ( u ) = ∂ x 2 u . Nous faisons l’hypothèse que le système réduit ∂ t u + ∂ x f ( u ) = 0 est hyperbolique. Notre but est la description de l’interaction d’ondes simples, mono-dimensionnelles, le plus souvent deux ondes exactement. L’une d’elle, au moins, est une onde de choc (pour le système réduit) visqueuse (pour le système parabolique). Il y a donc a priori...

Sur la stabilité des couches limites de viscosité

Denis Serre — 2001

Annales de l’institut Fourier

Pour un système parabolique de lois de conservation, nous considérons le problème mixte, dans le domaine x > 0 . Pour une condition de Dirichlet, le système admet en général des solutions stationnaires U ( x ) , qui tendent vers une limite en + ∞ . Ce sont les profils des couches limites, dans l’approximation du second ordre, pour le système hyperbolique du premier ordre sous-jacent. La stabilité de cette couche limite est liée à la stabilité linéaire asymptotique de U . On étudie celle-ci au moyen d’une fonction d’Evans,...

Stabilité L 1 d’ondes progressives de lois de conservation scalaires

Denis Serre

Séminaire Équations aux dérivées partielles

A powerfull method has been developped in [2] for the study of L 1 -stability of travelling waves in conservation laws or more generally in equations which display L 1 -contractivity, maximum principle and mass conservation. We recall shortly the general procedure. We also show that it partly applies to the waves of a model of radiating gas. These waves have first been studied by Kawashima and Nishibata [5,6] in a different framework. Therefore, shock fronts for this model are stable under mild perturbations....

Compacité par compensation pour une classe de systèmes hyperboliques de p ≥ 3 lois de conservation.

Sylvie Benzoni-Gavage;  Denis Serre — 1994

Revista Matemática Iberoamericana

We are concerned with a strictly hyperbolic system of conservation laws u + f(u) = 0, where u runs in a region Ω of R, such that two of the characteristic fields are genuinely non-linear whereas the other ones are of Blake Temple's type. We begin with the case p = 3 and show, under more or less technical assumptions, that the approximate solutions (u) given either by the vanishing viscosity method or by the Godunov scheme converge to weak entropy solutions as ε goes to 0. The first step consists...

L 2 -type contraction for systems of conservation laws

Denis Serre;  Alexis F. Vasseur — 2014

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques

The semi-group associated with the Cauchy problem for a scalar conservation law is known to be a contraction in L 1 . However it is not a contraction in L p for any p > 1 . Leger showed in [] that for a convex flux, it is however a contraction in L 2 up to a suitable shift. We investigate in this paper whether such a contraction may happen for systems. The method is based on the relative entropy method. Our general analysis leads us to the new geometrical notion of systems. We treat in details two examples:...

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