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Le théorème des nombres premiers dit que la distance entre deux nombres premiers consécutifs $p_n\<p_{n+1}$ est, en moyenne, de l’ordre de $ln\left(p_n\right)$. Récemment, D. Goldston, J. Pintz et C. Yıldırım sont parvenus à démontrer que la distance normalisée $(p_{n+1}-p_n)/ln\left(p_n\right)$ pouvait devenir arbitrairement petite, améliorant spectaculairement les résultats connus auparavant. Sous des hypothèses considérées comme raisonnables, ils parviennent à montrer que $p_{n+1}-p_n\<16$ infiniment souvent. Leur méthode est une très jolie application d’idées inspirée par...

Using the principle that characteristic polynomials of matrices obtained from elements of a reductive group $\mathbf{G}$ over $\mathbf{Q}$ typically have splitting field with Galois group isomorphic to the Weyl group of $\mathbf{G}$, we construct an explicit monic integral polynomial of degree $240$ whose splitting field has Galois group the Weyl group of the exceptional group of type ${\mathbf{E}}_8$.