On définit plusieurs opérades différentielles graduées, dont certaines en relation avec des familles de polytopes : les simplexes et les permutoèdres. On obtient également une présentation de l’opérade liée aux associaèdres introduite dans un article antérieur.
On définit une structure de bigèbre différentielle graduée sur la somme directe des complexes cellulaires des permutoèdres, qui contient une sous-bigèbre différentielle graduée dont le complexe sous-jacent est la somme directe des complexes cellulaires des polytopes de Stasheff. Ceci étend des constructions de Malvenuto et Reutenauer et de Loday et Ronco pour les sommets des mêmes polytopes.
We define new combinatorial objects, called shrubs, such that forests of rooted trees are shrubs. We then introduce a structure of operad on shrubs. We show that this operad is contained in the Zinbiel operad, by using the inclusion of Zinbiel in the operad of moulds. We also prove that this inclusion is compatible with the richer structure of anticyclic operad that exists on Zinbiel and on moulds.
La structure d’opérade anticyclique de l’opérade dendriforme donne en particulier une matrice d’ordre agissant sur l’espace engendré par les arbres binaires plans à feuilles. On calcule le polynôme caractéristique de cette matrice. On propose aussi une conjecture compatible pour le polynôme caractéristique de la transformation de Coxeter du poset de Tamari, qui est essentiellement une racine carrée de cette matrice.
On introduit une opérade anticyclique définie par une présentation ternaire quadratique. On montre qu’elle admet une base indexée par les arbres binaires planaires. On relie cette construction à la famille des treillis de Tamari en construisant un isomorphisme entre et le groupe de Grothendieck de la catégorie qui envoie la base de sur les classes des modules projectifs et qui transforme la structure anticyclique de en la transformation de Coxeter de la catégorie dérivée de . La dualité...
On introduit une déformation des séries de Dirichlet d’une variable complexe , sous la forme d’un opérateur pour chaque nombre complexe , agissant sur les séries formelles sans terme constant en une variable . On montre que les fractions de Bernoulli-Carlitz sont les images de certains polynômes en par les opérateurs associés à la fonction de Riemann aux entiers négatifs.
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