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If the separability of the separable process definition is replaced by a set of optional (predictable) times, a new property is obtained, optional (predictable) separability. A well measurable (accessible) process is necessarily optionally (predictably) separable. Proofs of limit properties of a separable process become proofs of the same limit properties of a well measurable (predictable) process.

L’auteur démontre en s’appuyant sur la thèse de Mlle Naïm le résultat suivant qu’il avait établi grâce aux probabilités : dans un espace de Green, si $u$ et $h$ sont surharmoniques $\>0$, $u/h$ admet en tout point de l’espace ou de sa frontière de Martin une “limite fine” finie, sauf sur un ensemble de mesure nulle pour la mesure associée canoniquement à $h$. Puis, il peut même affaiblir l’hypothèse $u\>0$.

L’auteur étudie dans un espace de Green (en particulier un domaine borné de ${\mathbf{R}}^n$) les fonctions $BLD$ (limites en un certain sens des fonctions assez régulières à intégrale de Dirichlet finie). On se ramène au cas harmonique montré qu’une telle fonction harmonique $u$ est solution d’un problème de Dirichlet-Martin (c’est-à-dire correspond à une donnée $u^{\text{'}}$ sur la frontière de Martin), ce qui entraîne l’existence d’une limite “fine” $u^{\text{'}}$ p.p. Cela résulte de travaux antérieurs et de la remarque que $u^2$ a une mesure...

On étudie les relations entre les valeurs d’adhérence fine en un point-frontière et les valeurs d’adhérence le long de la normale en ce point pour les fonctions sousharmoniques et les fonctions méromorphes dans un demi-plan. Des théorèmes classiques de limite à la frontière et des généralisations sont ainsi obtenues par des méthodes de théorie de potentiel. Une étude de ce genre des valeurs d’adhérence en un point singulier isolé fournit une version en topologie fine du théorème de Casorati-Weierstrass....

Let $H^{\infty }$ be the class of bounded analytic functions on $D:\left|z\right|\<1$, and let $\bar{D}$ be the set of maximal ideals of the algebra $H^{\infty }$, a compactification of $D$. The relations between functions in $H^{\infty }$ and their cluster values on $\bar{D}-D$ are studied. Let $D_1$ be the subset of $\bar{D}$ over the point 1. A subset $A$ of $D_1$ is a “Fatou set” if every $f$ in $H^{\infty }$ has a limit at $e^{i\theta }A$ for almost every $\theta$. The nontangential subset of $D_1$ is a Fatou set according to the Fatou theorem. There are many larger Fatou sets, for example the fine topology subset of $D_1$ but...

On connaît le théorème de Fatou sur les limites angulaires à la frontière d’une fonction harmonique $\>0$ dans une boule (étendu par Doob à un quotient de telles fonctions) et l’amélioration par Calderón-Carleson affaiblissant les hypothèses en supposant la fonction seulement bornée dans un sens sur des domaines angulaires de Stolz. On connaissait aussi les résultats généraux de Naïm-Doob sur les limites “fines” à la frontière de Martin d’un quotient de deux fonctions harmoniques $\>0$. Le présent mémoire...