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Une surface projective convexe est le quotient d’un ouvert proprement convexe $\Omega$ de l’espace projectif réel ${\mathbb{P}}^2\left(ℝ\right)$ par un sous-groupe discret $\Gamma$ de ${\mathrm{SL}}_3\left(ℝ\right)$. Nous donnons plusieurs caractérisations du fait qu’une surface projective convexe est de volume fini pour la mesure de Busemann. On en déduit que si $\Omega$ n’est pas un triangle alors $\Omega$ est strictement convexe, à bord ${𝒞}^1$ et qu’une surface projective convexe $S$ est de volume fini si et seulement si la surface duale est de volume fini.

On montre un lemme de Kazhdan-Margulis-Zassenhaus pour les géométries de Hilbert. Plus précisément, en toute dimension $n$, il existe une constante ${\epsilon }_n\>0$ telle que, pour tout ouvert proprement convexe $\Omega$, pour tout point $x\in \Omega$, tout groupe discret engendré par un nombre fini d’automorphismes de $\Omega$ qui déplacent le point $x$ de moins de ${\epsilon }_n$ est virtuellement nilpotent.

On étudie la notion de finitude géométrique pour certaines géométries de Hilbert définies par un ouvert strictement convexe à bord de classe ${𝒞}^1$. La définition dans le cadre des espaces Gromov-hyperboliques fait intervenir l’action du groupe discret considéré sur le bord de l’espace. On montre, en construisant explicitement un contre-exemple, que cette définition doit être renforcée pour obtenir des définitions équivalentes en termes de la géométrie de l’orbifold quotient, similaires à...