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Note à propos d'une conjecture de H.J. Godwin sur les unités des corps cubiques

Marie-Nicole Gras — 1980

Annales de l'institut Fourier

On démontre, à partir de résultats de H.J. Godwin, H. Brunotte et F. Halter-Koch, le théorème suivant : soit K un corps cubique cyclique de conducteur m dont le groupe de Galois G est engendré par σ ; soit E le groupe des unités de norme 1. Soit ϵ ∈ E , ϵ ≠ 1 , telle que 𝒮 ( ϵ ) = 1 2 [ ( ϵ - ϵ σ ) 2 + ( ϵ σ - ϵ σ 2 ) 2 + ( ϵ σ 2 - ϵ ) 2 ] soit minimum. Alors ϵ est un Z [ G ] -générateur de E .

Classes et unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de 𝐐

Marie-Nicole Gras — 1979

Annales de l'institut Fourier

Soit K une extension cyclique réelle de degré 4 de Q de sous-corps quadratique k . Nous déterminons le nombre de classes et les unités de K puis nous montrons que le problème de la “capitulation” de classes de k dans K est caractérisé par des propriétés élémentaires des unités de K . Nous avons obtenu une table numérique du nombre de classes, des unités ainsi que de l’éventuelle “capitulation” d’une classe, pour tous les corps K de conducteur f < 4000  ; nous en publions ici un extrait.

Signature des unités cyclotomiques et parité du nombre de classes des extensions cycliques de 𝐐 de degré premier impair

Georges Gras;  Marie-Nicole Gras — 1975

Annales de l'institut Fourier

Si K est une extension abélienne de Q de degré impair, l’étude du 2-groupe des classes (au sens ordinaire) de K (et même celle de la parité du nombre de classes h de K ) est non triviale, et les algorithmes connus ne dépassent guère le cas [ K : Q ] = 3 . L’expression analytique de h s’interprète à l’aide d’indices convenables de groupes d’unités cyclotomiques (Hasse et Leopoldt) ; ce dernier point de vue permet une caractérisation de la parité de h , en fonction de l’existence d’unités cyclotomiques...

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