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Si descrivono alcuni teoremi sull'esistenza di geodetiche chiuse per varietà di Finsler compatte e semplicemente connesse. Le dimostrazioni appariranno in altri lavori.

Sia M una varietà liscia e chiusa contenuta in uno spazio euclideo ${𝐑}^k$. Siano poi $H^1(S^1,{𝐑}^k)$ ($S^1$ = circonferenza) lo spazio di Sobolev delle curve assolutamente continue $c:S^1\to {𝐑}^k$ tali che $\parallel \dot{c}(t)\parallel \in L^2(S^1)$. Sia ${\mathrm{\Lambda }}_M$ la sottovarietà di $H^1(S^1,{𝐑}^k)$ delle curve di $M$. Su ${\mathrm{\Lambda }}_M$ opera $S^1$ per rotazioni; sia $\mathrm{\Pi }M$ lo spazio quoziente. In questa Nota si studia la coomologia razionale di $\mathrm{\Pi }M$; più precisamente posto ${\mathrm{\Pi }}^{0}M={\mathrm{\Lambda }}^{0}M=M$ per il sottospazio delle curve costanti si studia la struttura dell'accoppiamento («cap» prodotto): $$H^{\star }(\mathrm{\Pi }M,{\mathrm{\Pi }}^{0}M)\otimes H_{\star }(\mathrm{\Pi }M-{\mathrm{\Pi }}^{0}M)\stackrel{\cap }{\to }{H}^{\star }(\mathrm{\Pi }M,{\mathrm{\Pi }}^{0}M)$$