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Nous développons une version de la théorie d’indice $L^2$ d’Atiyah pour les faisceaux cohérents sur les variétés algébriques lisses et l’utilisons pour attaquer certaines questions de J. Kollár. Soit $X$ une variété complexe compacte projective algébrique lisse et connexe. Nous prouvons que si $L$ est un diviseur nef et gros, tel que la restriction de $K_X+L$ à la fibre générale d’une application de Shafarevich est effective, $K_X+L$ est effectif. Soit $X$ une variété kählérienne compacte telle...

Let $X$ be a compact Kähler manifold, $x\in X$ be a base point and $\rho :{\pi }_1(X,x)\to G{L}_N\left(C\right)$ be the monodromy representation of a $𝒞$-VHS. Building on Goldman–Millson’s classical work, we construct a mixed Hodge structure on the complete local ring of the representation variety at $\rho$ and a variation of mixed Hodge structures whose monodromy is the universal deformation of $\rho$.

Dans cette note nous établissons le résultat suivant, annoncé dans [CCE13] : si $G\subset {\mathrm{GL}}_n\left(ℂ\right)$ est l’image d’une représentation linéaire d’un groupe kählérien ${\pi }_1\left(X\right)$, il admet un sous-groupe d’indice fini qui est l’image d’une représentation linéaire du groupe fondamental d’une variété projective complexe lisse $X^{\text{'}}$. Il s’agit donc de la solution (à indice fini près) pour les représentations linéaires d’une question usuelle demandant si le groupe fondamental...