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Minoration du spectre des variétés hyperboliques de dimension 3

Pierre Jammes — 2012

Bulletin de la Société Mathématique de France

Soit M une variété hyperbolique compacte de dimension 3, de diamètre  d et de volume V . Si on note μ i ( M ) la i -ième valeur propre du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les 1-formes coexactes de M , on montre que μ 1 ( M ) c d 3 e 2 k d et μ k + 1 ( M ) c d 2 , où c > 0 est une constante ne dépendant que de V , et k est le nombre de composantes connexes de la partie mince de M . En outre, on montre que pour toute 3-variété hyperbolique M de volume fini avec cusps, il existe une suite M i de remplissages compacts de M , de diamètre d i + telle que et μ 1 ( M i ) c d i 2 .

Effondrement, spectre et propriétés diophantiennes des flots riemanniens

Pierre Jammes — 2010

Annales de l’institut Fourier

On étudie le comportement des premières valeurs propres du laplacien agissant sur les formes différentielles lors d’un effondrement adiabatique d’un flot riemannien sur une variété compacte M . Le nombre de petites valeurs propres peut alors se calculer en fonction de la cohomologie basique de , et on donne des critères spectraux pour l’annulation des classes d’Álvarez et d’Euler du flot. En outre, on définit un invariant de nature diophantienne du flot qui est lié au comportement asymptotique...

Extrema de valeurs propres dans une classe conforme

Pierre Jammes

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

On s’intéresse au problème de savoir quelle est la rigidité apportée au spectre d’une variété riemannienne compacte par le fait de fixer son volume et se classe conforme, et en particulier de déterminer si on peut faire tendre les valeurs propres vers 0 ou l’infini sous cette contrainte. On considère successivement les cas du laplacien usuel agissant sur les fonctions, l’opérateur de Dirac, le laplacien conforme et le laplacien de Hodge-de Rham.

Effondrements et petites valeurs propres des formes différentielles

Pierre Jammes

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

À courbure et diamètre bornés, les valeurs propres non nulles du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les formes différentielles d’une variété compacte ne sont pas uniformément minorées comme c’est le cas pour les fonctions, et si l’une d’elle tend vers zéro alors le volume de la variété tend aussi vers zéro, c’est-à-dire qu’elle s’effondre. On présente ici les résultats obtenus ces dernières années concernant le problème réciproque, à savoir déterminer le comportement asymptotique des premières...

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