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Linear independence of linear forms in polylogarithms

Raffaele Marcovecchio — 2006

Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze

For x , | x | < 1 , s , let Li s ( x ) be the s -th polylogarithm of x . We prove that for any non-zero algebraic number α such that | α | < 1 , the ( α ) -vector space spanned by 1 , Li 1 ( α ) , Li 2 ( α ) , has infinite dimension. This result extends a previous one by Rivoal for rational α . The main tool is a method introduced by Fischler and Rivoal, which shows the coefficients of the polylogarithms in the relevant series to be the unique solution of a suitable Padé approximation problem.

Determinanti polinomiali-esponenziali

Raffaele Marcovecchio — 2004

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

Dati m = 2 o m = 3 numeri algebrici non nulli α = α 1 , , α m tali che α j / α l non è una radice dell'unità per ogni j l , consideriamo una classe di determinanti di Vandermonde generalizzati di ordine quattro G a ; x , al variare di x in Z 4 , connessa con alcuni problemi diofantei. Dimostriamo che il numero delle soluzioni y Z 3 in posizione generica dell'equazione polinomiale-esponenziale disomogenea G a ; 0 , y = 0 non supera una costante esplicita N d dipendente solo da d = [ Q ( α 1 , , α m ) : Q ] .

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