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In questo lavoro vengono costruite famiglie di 3-folds algebriche e non singolari $X$ di tipo generale tali che l'invariante $K_X^3$ sia il minimo possibile rispetto al genere geometrico $p_g$ , quando si suppone che il morfismo canonico sia birazionale. Per tali 3-folds vale la relazione lineare $K_X^3=4p_g-14$ inoltre l'immagine del morfismo canonico é una varietà di Castelnuovo di ${\mathbb{P}}^{p_g-1}$.

We consider the Grassmannian $𝔾r(k,n)$ of $(k+1)$-dimensional linear subspaces of $V_n=H^0({\mathbb{P}}^1,{𝒪}_{{\mathbb{P}}_1}(n))$. We define ${𝔛}_{k,r,d}$ as the classifying space of the $k$-dimensional linear systems of degree $n$ on ${\mathbb{P}}^1$, whose bases realize a fixed number $r$ of polynomial relations of fixed degree $d$, say $r$ syzygies of degree $d$. Firstly, we compute the dimension of ${𝔛}_{k,r,d}$. In the second part we make a link between ${𝔛}_{k,r,d}$ and the Poncelet varieties. In particular, we prove that the existence of linear syzygies implies the existence of singularities on the Poncelet varieties....