La théorie des nombres premiers généralisés de Beurling fait intervenir $N\left(x\right)$, la fonction de décompte des entiers généralisés, $P\left(x\right)$, celle des nombres premiers généralisés, et $\zeta \left(s\right)$, la fonction dzeta adaptée. Les hypothèses sur $N\left(x\right)$ se traduisent en propriétés de $\zeta \left(s\right)$, qui entraînent ou non le “théorème des nombres premiers” (TNP) $P\left(x\right)\sim x/\log x$ ou “ l’inégalité de Tchebycheff” (IT) $P\left(x\right)=O(x/\log x)$. L’article est consacré au rôle de la fonction $it\zeta (1+it)$, en relation avec les algèbres ${\displaystyle A=ℱL^1\left(ℝ\right),A^{\infty }=\left\{f\underset{y\ge \left|x\right|}{sup}\left|\left(ℱf\right)\left(x\right)\right|\in L^1({ℝ}^{+},dy)\right\}}$ et $H^1=ℱL^2(ℝ,(1+y^2\left)dy\right)$. On montre que l’hypothèse $it\zeta (1+it)\exp (-2|t{|}^{\alpha })\in H^1$ entraîne (TNP)...

$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement en fraction continue de $\alpha$. La suite $\left(xs\right(n)+y{\alpha }_{\alpha }(n){)}_{n\in \mathbf{N}}$ est équirépartie modulo 1 si et seulement si $x$ ou $y$ est irrationnel.

La sous-algèbre fermée des fonctions radiales de $\mathbf{F}{l}^1(R^n)$ est une algèbre de fonctions sur ${\mathbf{R}}^{+}$ qui coïncide, sur tout compact de $]0,+\infty [$, avec l’algèbre transformée de Fourier des fonctions sur $\mathbf{R}$ sommables avec le poids $(1+|x|{)}^{\frac{n-1}{2}}$.

Pour toute suite $\{{\lambda }_n{\}}_{n\in N}$, de nombres réels, vérifiant : $1/{lim}_{n\to \infty }\{{\lambda }_n-n\}=0$, et $2/{\lambda }_n\ne n$ pour une infinité de valeurs de $n$, on montre l’existence de fonctions moyennes-périodiques non bornées à spectre dans $\left\{{\lambda }_n\right\}$.

Soit $N$ un entier $\ge 1$. Pour un nombre premier $p$ on note ${\mathbf{Q}}_p^{\mathrm{nr}}$ l’extension maximale non ramifiée de ${\mathbf{Q}}_p$. Supposons que $p^v$ divise exactement $N$. Alors, en utilisant les travaux de Carayol et la théorie du corps de classes local, on détermine une extension $E_v$ de ${\mathbf{Q}}_p^{\mathrm{nr}}$ sur laquelle la jacobienne $J_0$ de la courbe modulaire de $X_0\left(N\right)$ admet une réduction semi-stable, puis on donne une estimation de son degré.

Let $J_k\left(n\right):=n^k{\prod }_{p\mid n}(1-p^{-k})$ (the $k$-th Jordan totient function, and for $k=1$ the Euler phi function), and consider the associated error term $$E_k\left(x\right):=\sum _{n\le x}{J}_k\left(n\right)-\frac{x^{k+1}}{(k+1)\zeta (k+1)}.$$ When $k\ge 2$, both $i_k:=E_k\left(x\right)x^{-k}$ and $s_k:=lim\; sup{E}_k\left(x\right)x^{-k}$ are finite, and we are interested in estimating these quantities. We may consider instead $$Ik:=\underset{n\in \mathbb{N},n\to \infty }{lim\; inf}$$ d 1 (d)dk ( 12 - { nd} ), since from [AS] $i_k=I_k-{\left(\zeta (k+1)\right)}^{-}1$ and from the present paper $s_k=-i_k$. We show that $I_k$ belongs to an interval of the form $$\left(\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}-\frac{1}{(k-1)N^{k-1}},\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}\right),$$ where $N=N\left(k\right)\to \infty$ as $k\to \infty$. From a more practical point of view we describe...