La théorie des nombres premiers généralisés de Beurling fait intervenir $N\left(x\right)$, la fonction de décompte des entiers généralisés, $P\left(x\right)$, celle des nombres premiers généralisés, et $\zeta \left(s\right)$, la fonction dzeta adaptée. Les hypothèses sur $N\left(x\right)$ se traduisent en propriétés de $\zeta \left(s\right)$, qui entraînent ou non le “théorème des nombres premiers” (TNP) $P\left(x\right)\sim x/\log x$ ou “ l’inégalité de Tchebycheff” (IT) $P\left(x\right)=O(x/\log x)$. L’article est consacré au rôle de la fonction $it\zeta (1+it)$, en relation avec les algèbres ${\displaystyle A=ℱL^1\left(ℝ\right),A^{\infty }=\left\{f\underset{y\ge \left|x\right|}{sup}\left|\left(ℱf\right)\left(x\right)\right|\in L^1({ℝ}^{+},dy)\right\}}$ et $H^1=ℱL^2(ℝ,(1+y^2\left)dy\right)$. On montre que l’hypothèse $it\zeta (1+it)\exp (-2|t{|}^{\alpha })\in H^1$ entraîne (TNP) quand $\alpha \<2$ et...

If the counting function N(x) of integers of a Beurling generalized number system satisfies both ${\int }_1^{\infty }{x}^{-2}|N\left(x\right)-Ax|dx<\infty$ and $x^{-1}\left(logx\right)(N\left(x\right)-Ax)=O\left(1\right)$, then the counting function π(x) of the primes of this system is known to satisfy the Chebyshev bound π(x) ≪ x/logx. Let f(x) increase to infinity arbitrarily slowly. We give a construction showing that ${\int }_1^{\infty }|N\left(x\right)-Ax|x^{-2}dx<\infty$ and $x^{-1}\left(logx\right)(N\left(x\right)-Ax)=O\left(f\left(x\right)\right)$ do not imply the Chebyshev bound.

Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P\left(x\right)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N\left(x\right)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P\left(x\right)\sim x/logx(x\to \infty )$. En posant $N\left(x\right)=Dx+xϵ\left(x\right)$, la condition de Beurling est $ϵ\left(x\right)=O\left({(logx)}^{-a}\right)$ avec $a\&gt;\frac{3}{2}$, et il y a un contre-exemple avec $a=\frac{3}{2}$. L’article...

We investigate properties of coset topologies on commutative domains with an identity, in particular, the 𝓢-coprime topologies defined by Marko and Porubský (2012) and akin to the topology defined by Furstenberg (1955) in his proof of the infinitude of rational primes. We extend results about the infinitude of prime or maximal ideals related to the Dirichlet theorem on the infinitude of primes from Knopfmacher and Porubský (1997), and correct some results from that paper. Then we determine cluster...