Soit $P$ un opérateur pseudodifférentiel (ou microdifférentiel) tel que $expP$ soit aussi un opérateur pseudodifférentiel. Alors le symbole de $expP$ s’ecrit $expq$ avec un symbole $q$. Pour la réciproque, si $Q$ est un opérateur à symbole $expq$, il existe un opérateur $P$ tel que $Q=expP$. Tous ces résultats reposent sur la théorie développée dans la Note I de cette série. Comme application, on obtient une condition suffisante d’inversibilité pour les opérateurs pseudodifférentiels d’ordre infini.

Cet article s’intéresse au calcul symbolique des opérateurs microdifférentiels avec symboles exponentiels. On donne la loi de composition des symboles exponentiels. Comme application, on trouve une condition suffisante d’ellipticité pour les opérateurs microdifférentiels d’ordre infini.

Soit $f:X\to Y$ un germe d’applications algébriques entre deux germes de variétés algébriques complexes. Soient $O_{X^{\text{'}}}{O}_Y$ les anneaux de germe de fonctions holomorphes sur $X$ et $Y$ respectivement : ${\bar{f}}^{*}:O_Y\to O_X$ l’homomorphisme déduit de $f$. Nous démontrons, en utilisant quelques propriétés élémentaires des courbes analytiques sur un germe d’espace analytique et sous certaines hypothèses sur $X$ et $Y$, que ${\bar{f}}^{*}$ induit une application ouverte de $O_Y$ sur ${\bar{f}}^{*}(O_Y)$ et que ${\bar{f}}^{*}(O_Y)$ est fermé dans $O_X$ (pour les topologies de Krull).

We present a construction of an intersection product of arbitrary complex analytic cycles based on a pointwise defined intersection multiplicity.

Soient $k$ un corps commutatif et $I=(p_1,\cdots ,p_m)k_n\left[X\right]$ un idéal de l’anneau des polynômes $k[X_1,\cdots ,X_n]$ (éventuellement $I=k_n\left[X\right]$). Nous prouvons une conjecture de C. Berenstein - A. Yger qui affirme que pour tout polynôme $p$, élément de la clôture intégrale $\overline{I}$ de l’idéal $I$, on a une représentation$$p^m=\sum _{1\le i\le m}{p}_i{q}_i,\text{avec}maxdeg\left(q_i{p}_i\right)\le mdegp+m{d}_1\cdots d_m,$$où $d_i=deg{p}_i,1\le i\le m$.