In [Comput. Math. Appl. 41 (2001), 135--147], A. A. Ungar employs the Möbius gyrovector spaces for the introduction of the hyperbolic trigonometry. This Ungar's work plays a major role in translating some theorems from Euclidean geometry to corresponding theorems in hyperbolic geometry. In this paper we explore the theorems of Stewart and Steiner in the Poincaré disc model of hyperbolic geometry.

Im Artikel wird die Möbiussche Geometrie im Halbraum $H^3\equiv \{(x_1,x_2,x_3)\in R^3\left|x_3>0\}\right.$ mit Hilfe der Quaternionen über Darstellung (1) $z=u+vj$, wo $u=u_1+i{u}_2\in C,v>0,i^2=j^2=-1$, untersucht. Zuerst wird die Operierung der durch $SL(2,C)$ represäntierten Möbiusschen Gruppe im Halbraum $H^3$ definiert. Die Punkte im $H^3$ werden durch die Quaternionen (1) beschrieben. Es wird gezeigt, dass diese Gruppe transitiv im $H^3$ operiert. Weiter werden die algebraischen Grundinvarianten gefunden. Hier werden der Begriff der $ℳ$ - Bewegung im $H^3$ und einige weitere kinematische Grundbegrife eingeführt....