We outline some of the tools C. Ehresmann introduced in Differential Geometry (fiber bundles, connections, jets, groupoids, pseudogroups). We emphasize two aspects of C. Ehresmann's works: use of Cartan notations for the theory of connections and semi-holonomic jets.
La théorie des géodésiques d’une surface se situe à l’intersection de plusieurs domaines : la géométrie différentielle, le calcul des variations, la théorie des équations différentielles et la mécanique. Au début du xixe siècle, la théorie locale des géodésiques est un exemple bien connu d’application des méthodes infinitésimales à la géométrie. Cependant, l’équation des géodésiques est trop difficile pour être résolue et les méthodes directes ne donnent que peu d’informations sur le comportement...
L’analyse de l’article de Poincaré sur les géodésiques fait apparaître qu’il entretient des liens complexes avec les travaux antérieurs de Poincaré en mécanique céleste. Nous montrerons que le problème des géodésiques des surfaces convexes est traité comme un paradigme grâce auquel Poincaré explicite une méthode qui n’était présentée qu’à l’état d’ébauche dans ses ouvrages de mécanique céleste. Cette étude de cas permet ainsi de mettre en évidence l’utilisation par Poincaré d’une technique d’écriture...
In the mid fifties, Charles Ehresmann defined Geometry as "the theory of more or less rich structures, in which algebraic and topological structures are generally intertwined". In 1973 he defined it as the theory of differentiable categories, their actions and their prolongations. Here we explain how he progressively formed this conception, from homogeneous spaces to locally homogeneous spaces, to fibre bundles and foliations, to a general notion of local structures, and to a new foundation of differential...
The purpose of this paper is to reconsider the genesis of the concept of covariant differentiation, which is interpreted as arising out of two traditions running through 19th-century research work. While the first tradition, of an algebraic nature, was responsible for the “algorithmic” emergence of the concept, the second, analytical in character, was essentially concerned with the import of covariant differentiation as a broader kind of differentiation. The methodological contrast that these two...
Après avoir enrichi la notion de connexion entre 1922 et 1925, Élie Cartan jette entre 1925 et 1930 les bases de l’étude topologique et géométrique globale des groupes de Lie et variétés homogènes. Nous voulons montrer que ce passage aux questions globales s’accompagne d’une réorganisation complète, aux niveaux théorique, thématique et rhétorique, autour d’une polarité local / global jusque là absente des travaux de Cartan ; elle remplace, selon nous, une polarité infinitésimal / fini héritée du...
El concepto de curvatura es muy familiar en la Geometría Diferencial. En este artículo se procura mostrar tanto la evolución de su concepto a lo largo de la historia como alguna de sus aplicaciones. En esta exposición existe una limitación tanto en la presenatción de algunos tópicos como en la ausencia de otros que son básicos en la Geometría de Riemann. Entre éstos últimos cabría destacar, entre otros, las variedades minimales y las kählerianas o la teoría de Morse. Aunque de manera implícita,...