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Cônes asymptotiques et invariants de quasi-isométrie pour les espaces métriques hyperboliques

Cornelia Drutu (2001)

Annales de l’institut Fourier

On utilise l'équivalence due à M. Gromov entre l'hyperbolicité d'un espace métrique géodésique et le fait que ses cônes asymptotiques sont des arbres réels. Ce résultat permet tout d'abord de donner une nouvelle preuve du fait que l'inégalité isopérimétrique sous-quadratique implique l'hyperbolicité. Les avantages de cette preuve sont qu'elle est très courte et qu'elle utilise une seule propriété de la fonction aire de remplissage des courbes fermées, l'inégalité du quadrilatère....

Construction of Einstein metrics by generalized Dehn filling

Richard H. Bamler (2012)

Journal of the European Mathematical Society

In this paper, we present a new approach to the construction of Einstein metrics by a generalization of Thurston's Dehn filling. In particular in dimension 3, we will obtain an analytic proof of Thurston's result.

Convexes hyperboliques et fonctions quasisymétriques

Yves Benoist (2003)

Publications Mathématiques de l'IHÉS

Every bounded convex open set Ω of Rm is endowed with its Hilbert metric dΩ. We give a necessary and sufficient condition, called quasisymmetric convexity, for this metric space to be hyperbolic. As a corollary, when the boundary is real analytic, Ω is always hyperbolic. In dimension 2, this condition is: in affine coordinates, the boundary ∂Ω is locally the graph of a C1 strictly convex function whose derivative is quasisymmetric.

Diastolic and isoperimetric inequalities on surfaces

Florent Balacheff, Stéphane Sabourau (2010)

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure

We prove a universal inequality between the diastole, defined using a minimax process on the one-cycle space, and the area of closed Riemannian surfaces. Roughly speaking, we show that any closed Riemannian surface can be swept out by a family of multi-loops whose lengths are bounded in terms of the area of the surface. This diastolic inequality, which relies on an upper bound on Cheeger’s constant, yields an effective process to find short closed geodesics on the two-sphere, for instance. We deduce...

Dirac and Plateau billiards in domains with corners

Misha Gromov (2014)

Open Mathematics

Groping our way toward a theory of singular spaces with positive scalar curvatures we look at the Dirac operator and a generalized Plateau problem in Riemannian manifolds with corners. Using these, we prove that the set of C 2-smooth Riemannian metrics g on a smooth manifold X, such that scalg(x) ≥ κ(x), is closed under C 0-limits of Riemannian metrics for all continuous functions κ on X. Apart from that our progress is limited but we formulate many conjectures. All along, we emphasize geometry,...

Extremals for the Sobolev inequality on the seven-dimensional quaternionic Heisenberg group and the quaternionic contact Yamabe problem

Stefan Ivanov, Ivan Minchev, Dimiter Vassilev (2010)

Journal of the European Mathematical Society

A complete solution to the quaternionic contact Yamabe problem on the seven-dimensional sphere is given. Extremals for the Sobolev inequality on the seven-dimensional Heisenberg group are explicitly described and the best constant in the L2 Folland–Stein embedding theorem is determined.

Flats in 3-manifolds

Michael Kapovich (2005)

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques

Flats in Spaces with Convex Geodesic Bicombings

Dominic Descombes, Urs Lang (2016)

Analysis and Geometry in Metric Spaces

In spaces of nonpositive curvature the existence of isometrically embedded flat (hyper)planes is often granted by apparently weaker conditions on large scales.We show that some such results remain valid for metric spaces with non-unique geodesic segments under suitable convexity assumptions on the distance function along distinguished geodesics. The discussion includes, among other things, the Flat Torus Theorem and Gromov’s hyperbolicity criterion referring to embedded planes. This generalizes...

Forte souplesse intersystolique de variétés fermées et de polyèdres

Ivan K. Babenko (2002)

Annales de l’institut Fourier

La systole k -dimensionnelle d’une variété riemannienne de dimension n a été introduite par M. Berger en 1972. Le problème de la souplesse intersystolique (ou ( k , n - k ) -souplesse) d’une variété M est l’étude de la borne supérieure du produit de deux systoles de dimensions complémentaires k et n - k si on change la métrique sur M dans la classe des métriques de volume 1 . La souplesse intersystolique de M signifie que cette borne supérieure est égale à ∞ . Quelques résultats particuliers dans cette direction ont...

Géométrie systolique et métriques polyèdrales sur les 3-variétés de Bieberbach

Chady El Mir (2008/2009)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

La systole d’une variété riemannienne compacte non simplement connexe est la plus petite longueur d’une courbe fermée non contractile ; le rapport systolique est le quotient ( systole ) n / volume . Sa borne supérieure, sur l’ensemble des métriques riemanniennes, est fini pour une large classe de variétés, dont les  K ( π , 1 ) .On étudie le rapport systolique optimal des variétés de Bieberbach compactes, orientables de dimension 3 qui ne sont pas des tores, et on démontre en utilisant des constructions de métriques polyèdrales...

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