Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires

Alexander Grothendieck

Annales de l'institut Fourier (1952)

  • Volume: 4, page 73-112
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
L’auteur donne un résumé des résultats essentiels de son travail “Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires” (à paraître dans Memoirs of the Am. Math. Soc.), en essayant de faire ressortir les idées directrices. Soient E et F deux espaces localement convexes, on définit d’abord deux topologies naturelles sur E ⊗ F , qui donnent des complétés E ⊗ ^ F et E ^ ⊗ ^ F , qu’on explicite dans divers cas importants, et dont on élucide les propriétés algébrico-topologiques, notamment à l’égard de la notion de produit tensoriel d’applications linéaires continues. Le dual de E ⊗ ^ F est l’espace des formes bilinéaires continues sur E × F , tandis que le dual de E ^ ⊗ ^ F est formé des formes bilinéaires continues sur E × F pouvant s’exprimer par certaines intégrales, et appelées pour cela formes bilinéaires intégrales. Il leur correspond la classe des applications linéaires intégrales, ayant de nombreuses propriétés spéciales. Si E est tel que E ⊗ ^ F = E ^ ⊗ ^ F quel que soit F , on dit que E est nucléaire. Il possède alors des propriétés extrêmement spéciales, généralisant et précisant celles de l’espace ( ℰ ) de L. Schwartz, notamment dans la théorie des applications linéaires continues. Dans trois appendices, l’auteur dit quelques mots sur certaines questions spéciales liées à la théorie, dont des questions d’approximation équivalentes à la question d’approximation des opérateurs compacts par des opérateurs continus de rang fini.

How to cite

top

Grothendieck, Alexander. "Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires." Annales de l'institut Fourier 4 (1952): 73-112. <http://eudml.org/doc/73713>.

@article{Grothendieck1952,
abstract = {L’auteur donne un résumé des résultats essentiels de son travail “Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires” (à paraître dans Memoirs of the Am. Math. Soc.), en essayant de faire ressortir les idées directrices. Soient $E$ et $F$ deux espaces localement convexes, on définit d’abord deux topologies naturelles sur $E\otimes F$, qui donnent des complétés $E\widehat\{\otimes \}F$ et $E\widehat\{\}\widehat\{\otimes \}F$, qu’on explicite dans divers cas importants, et dont on élucide les propriétés algébrico-topologiques, notamment à l’égard de la notion de produit tensoriel d’applications linéaires continues. Le dual de $E\widehat\{\otimes \}F$ est l’espace des formes bilinéaires continues sur $E\times F$, tandis que le dual de $E\widehat\{\}\widehat\{\otimes \}F$ est formé des formes bilinéaires continues sur $E\times F$ pouvant s’exprimer par certaines intégrales, et appelées pour cela formes bilinéaires intégrales. Il leur correspond la classe des applications linéaires intégrales, ayant de nombreuses propriétés spéciales. Si $E$ est tel que $E\widehat\{\otimes \}F= E\widehat\{\}\widehat\{\otimes \}F$ quel que soit $F$, on dit que $E$ est nucléaire. Il possède alors des propriétés extrêmement spéciales, généralisant et précisant celles de l’espace $(\{\cal E\})$ de L. Schwartz, notamment dans la théorie des applications linéaires continues. Dans trois appendices, l’auteur dit quelques mots sur certaines questions spéciales liées à la théorie, dont des questions d’approximation équivalentes à la question d’approximation des opérateurs compacts par des opérateurs continus de rang fini.},
author = {Grothendieck, Alexander},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {functional analysis},
language = {fre},
pages = {73-112},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires},
url = {http://eudml.org/doc/73713},
volume = {4},
year = {1952},
}

TY - JOUR
AU - Grothendieck, Alexander
TI - Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1952
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 4
SP - 73
EP - 112
AB - L’auteur donne un résumé des résultats essentiels de son travail “Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires” (à paraître dans Memoirs of the Am. Math. Soc.), en essayant de faire ressortir les idées directrices. Soient $E$ et $F$ deux espaces localement convexes, on définit d’abord deux topologies naturelles sur $E\otimes F$, qui donnent des complétés $E\widehat{\otimes }F$ et $E\widehat{}\widehat{\otimes }F$, qu’on explicite dans divers cas importants, et dont on élucide les propriétés algébrico-topologiques, notamment à l’égard de la notion de produit tensoriel d’applications linéaires continues. Le dual de $E\widehat{\otimes }F$ est l’espace des formes bilinéaires continues sur $E\times F$, tandis que le dual de $E\widehat{}\widehat{\otimes }F$ est formé des formes bilinéaires continues sur $E\times F$ pouvant s’exprimer par certaines intégrales, et appelées pour cela formes bilinéaires intégrales. Il leur correspond la classe des applications linéaires intégrales, ayant de nombreuses propriétés spéciales. Si $E$ est tel que $E\widehat{\otimes }F= E\widehat{}\widehat{\otimes }F$ quel que soit $F$, on dit que $E$ est nucléaire. Il possède alors des propriétés extrêmement spéciales, généralisant et précisant celles de l’espace $({\cal E})$ de L. Schwartz, notamment dans la théorie des applications linéaires continues. Dans trois appendices, l’auteur dit quelques mots sur certaines questions spéciales liées à la théorie, dont des questions d’approximation équivalentes à la question d’approximation des opérateurs compacts par des opérateurs continus de rang fini.
LA - fre
KW - functional analysis
UR - http://eudml.org/doc/73713
ER -

References

top
  1. [1] N. BOURBAKI, Algèbre multilinéaire, Act. Sc. Ind., 1044, Paris (Hermann). 
  2. [2] N. BOURBAKI, Intégration, Act. Sc. Ind., 1175, Paris (Hermann). Zbl0049.31703
  3. [3] J. DIEUDONNÉ et L. SCHWARTZ, La dualité dans les espaces (F) et (DF), Annales de Grenoble, I, (1949), pp. 61-101. Zbl0035.35501MR12,417d
  4. [4] J. DIXMIER, Les fonctionnelles linéaires sur l'ensemble des opérateurs bornés d'un espace de Hilbert, Annals of Math., 51 (1950), pp. 387-408. Zbl0036.35801MR11,441e
  5. [5] A. GROTHENDIECK, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires à paraître aux Memoirs of the Amer. Math. Soc. Zbl0064.35501
  6. [6] A. GROTHENDIECK, Sur les espaces (F) et (DF), à paraître dans Summa Brasiliensis Mathematicae. Zbl0058.09803
  7. [7] G. KÖTHE, Die Stufenräume, eine einfache Klasse linearer vollkommener Räume, Math. Zeitschrift, 51 (1948), pp. 317-345. Zbl0031.03402
  8. [8] R. SCHATTEN, A theory of cross-spaces, Princeton University Press, 1950. Zbl0041.43502MR12,186e
  9. [9] L. SCHWARTZ, Théorie des distributions, t. 1 et 2, Act. Sc. et Ind., 1091 et 1122, Paris (Hermann). 

Citations in EuDML Documents

top
  1. A. Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires
  2. Khélifa Harzallah, Erik Thomas, Espaces nucléaires
  3. Laurent Schwartz, Théorie des distributions à valeurs vectorielles. I
  4. Laurent Schwartz, Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II
  5. Jacques-Louis Lions, Opérateurs de Delsarte et problèmes mixtes
  6. François Bruhat, Sur les représentations induites des groupes de Lie
  7. Mauricio D. Garay, Perturbative expansions in quantum mechanics
  8. Bernard Malgrange, Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.