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Quotients de fonctions entières et quotients de Hadamard de séries formelles

Jean-Paul Bézivin

Annales de l'institut Fourier (1989)

  • Volume: 39, Issue: 3, page 737-752
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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In this paper, we prove two results. The first is about power series f ( z ) = ∑ a ( n ) z n / n ! such that ∑ a ( n ) z n is an algebraic power series. Note by A E this set of functions. Let f in A E , g an exponential-polynomial, and suppose that h ( z ) = f ( z ) / g ( z ) is an entire functions. Then there exist a polynomial P such that P ( z ) h ( z ) belongs to A E .The other result is the following. Let ∑ u ( n ) x n be an algebraic power series, and ∑ v ( n ) x n a rational power series with coefficients in 𝕂 ( 𝕂 is either ℚ , or a quadratic imaginary extension of ℚ ). Suppose that a ( n ) = u ( n ) / v ( n ) is an algebraic integer of 𝕂 for all n . With some additional conditions on the sequence v ( n ) , we show that ∑ a ( n ) x n is also an algebraic power series.

How to cite

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Bézivin, Jean-Paul. "Quotients de fonctions entières et quotients de Hadamard de séries formelles." Annales de l'institut Fourier 39.3 (1989): 737-752. <http://eudml.org/doc/74849>.

@article{Bézivin1989,
abstract = {Dans cet article, nous démontrons deux résultats. L’un concerne les séries $f^\{\prime \}(z)=\sum a(n)z^ n/n!$ telles que $\sum a(n)x^n$ est une série algébrique. Soit $AE$ cet ensemble de fonctions. Si $f$ appartient à $AE$, et si $g(z)$ est un polynôme-exponentiel tel que $h(z)=f(z)/g(z)$ est entière, alors il existe un polynôme $P(z)$ tel que $P(z)h(z)$ appartienne à $AE$.L’autre résultat est parallèle au premier. Soit $\sum u(n)x^n$ une série algébrique à coefficients dans un corps $\{\Bbb K\}$ (qui est soit $\{\Bbb K\}$, soit un corps quadratique imaginaire). Soit $\sum v(n)x^n$ une série rationnelle à coefficients dans $\{\Bbb K\}$. Avec quelques conditions restrictives sur la suite $v(n)$, on montre que si $a(n)=u(n)/v(n)$ est un entier de $\{\Bbb K\}$ pour tout $n$, alors la série $\sum a(n)x^n$ est une série algébrique.},
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AB - Dans cet article, nous démontrons deux résultats. L’un concerne les séries $f^{\prime }(z)=\sum a(n)z^ n/n!$ telles que $\sum a(n)x^n$ est une série algébrique. Soit $AE$ cet ensemble de fonctions. Si $f$ appartient à $AE$, et si $g(z)$ est un polynôme-exponentiel tel que $h(z)=f(z)/g(z)$ est entière, alors il existe un polynôme $P(z)$ tel que $P(z)h(z)$ appartienne à $AE$.L’autre résultat est parallèle au premier. Soit $\sum u(n)x^n$ une série algébrique à coefficients dans un corps ${\Bbb K}$ (qui est soit ${\Bbb K}$, soit un corps quadratique imaginaire). Soit $\sum v(n)x^n$ une série rationnelle à coefficients dans ${\Bbb K}$. Avec quelques conditions restrictives sur la suite $v(n)$, on montre que si $a(n)=u(n)/v(n)$ est un entier de ${\Bbb K}$ pour tout $n$, alors la série $\sum a(n)x^n$ est une série algébrique.
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