Description du défaut de compacité de l'injection de Sobolev
Solutions globales du problème de Cauchy pour l'équation de Boltzmann
Résultats récents sur les fluides parfaits incompressibles bidimensionnels
Équations de champ moyen pour la dynamique quantique d’un grand nombre de particules
L’objet de cet exposé est de montrer comment l’évolution de Schrödinger pour le problème à corps quantique est approchée, lorsque tend vers l’infini, dans un régime convenable, par une évolution non-linéaire en dimension trois d’espace. On traitera le cas des bosons, qui conduit à l’équation de Schrödinger-Poisson, et celui des fermions, qui débouche sur le système de Hartree-Fock.
Résultats de propagation pour les équations aux dérivées partielles à coefficients oscillants
Régularité de moyennes de solutions d'équations aux dérivées partielles
Moyennisation et régularité deux-microlocale
Sur le caractère bien posé des équations de Schrödinger non linéaires
Ergodicité de fonctions propres pour des problèmes aux limites
Propagation de la régularité locale de solutions d'équations hyperboliques non linéaires
Deuxième microlocalisation et problèmes aux limites
Équirépartition de fonctions propres pour des problèmes aux limites
Propagation de la régularité locale de solutions d'équations hyperboliques non linéaires
Pour tout réel positif , on étudie la propagation de la régularité locale pour des solutions d’équations aux dérivées partielles hyperboliques non linéaires, admettant a priori la régularité minimale permettant de définir les expressions non linéaires figurant dans l’équation. En particulier, on démontre le théorème de propagation dans le cas des solutions essentiellement bornées (resp. lipschitziennes) de systèmes du premier ordre semi-linéaires (resp. quasi-linéaires).
The cubic Szegő equation
We consider the following Hamiltonian equation on the Hardy space on the circle, where is the Szegő projector. This equation can be seen as a toy model for totally non dispersive evolution equations. We display a Lax pair structure for this equation. We prove that it admits an infinite sequence of conservation laws in involution, and that it can be approximated by a sequence of finite dimensional completely integrable Hamiltonian systems. We establish several instability...
Nonlinear Schrödinger equation on four-dimensional compact manifolds
We prove two new results about the Cauchy problem in the energy space for nonlinear Schrödinger equations on four-dimensional compact manifolds. The first one concerns global well-posedness for Hartree-type nonlinearities and includes approximations of cubic NLS on the sphere as a particular case. The second one provides, in the case of zonal data on the sphere, local well-posedness for quadratic nonlinearities as well as a necessary and sufficient condition of global well-posedness for small energy...
Problème spectral inverse et équation de Szegö cubique
Dans un exposé précédent [], nous avons justifié l’introduction de l’équation de Szegö cubique comme cas modèle d’équation de type Schrödinger sans dispersion. Ce cas modèle s’est révélé être intéressant sous divers aspects []. Dans cet exposé, nous nous attacherons à montrer comment la complète intégrabilité de l’équation de Szegö cubique permet de résoudre un problème spectral inverse pour les opérateurs de Hankel.
On the growth of Sobolev norms for the cubic Szegő equation
We report on a recent result establishing that trajectories of the cubic Szegő equation in Sobolev spaces with high regularity are generically unbounded, and moreover that, on solutions generated by suitable bounded subsets of initial data, every polynomial bound in time fails for high Sobolev norms. The proof relies on an instability phenomenon for a new nonlinear Fourier transform describing explicitly the solutions to the initial value problem, which is inherited from the Lax pair structure enjoyed...
L’équation de Szegö cubique
The Schrödinger equation on a compact manifold : Strichartz estimates and applications
We prove Strichartz estimates with fractional loss of derivatives for the Schrödinger equation on any riemannian compact manifold. As a consequence we infer global existence results for the Cauchy problem of nonlinear Schrödinger equations on surfaces in the case of defocusing polynomial nonlinearities, and on three-manifolds in the case of quadratic nonlinearities. We also discuss the optimality of these Strichartz estimates on spheres.
Mesures semi-classiques et croisement de modes
L’étude de la dynamique semi-classique d’électrons dans un cristal débouche naturellement sur le problème de l’évolution des mesures semi-classiques en présence d’un croisement de modes. Dans ce travail, nous étudions un système qui présente un tel croisement. À cet effet, nous introduisons des mesures semi-classiques à deux échelles qui décrivent comment la transformée de Wigner usuelle se concentre sur l’ensemble des trajectoires rencontrant ce croisement. Puis nous établissons des formules...
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