On considère une hauteur adélique absolue sur l’ensemble des points algébriques de la droite projective ${\P }^1$, relative à un fibré en droites ample. Nous donnons une formule asymptotique pour le nombre de points algébriques de ${\P }^1$ de degré fixé et de hauteur inférieure à B, lorsque $B$ tend vers l’infini. Le cas où la hauteur considérée est la hauteur absolue usuelle a été traité par Masser et Vaaler. Nous généralisons ce résultat pour les hauteurs adéliques quelconques, en adoptant un point de vue géométrique...

Si $V$ est une variété algébrique projective sur un corps de nombres dont les points rationnels sont denses pour la topologie de Zariski, il est naturel de munir $V$ d’une hauteur et d’étudier de manière asymptotique les points de hauteur bornée sur $V$. Le but de ce texte est de faire le survol d’un programme initié par Manin visant à interpréter de façon géométrique ce comportement.

On décrit dans cet article une version effective d’un théorème de Rumely : on peut trouver beaucoup de points entiers sur des ouverts (assez grands) de variétés arithmétiques, tout en contrôlant la hauteur de ces points. On applique ensuite ce résultat :- aux modèles de variétés abéliennes;- à la démonstration d’un analogue arithmétique des théorèmes de Bertini.

For an algebraic number field and a subset ${\alpha }_1,...,{\alpha }_r{\subseteq }_{}$, we establish a lower bound for the average of the logarithmic heights that depends on the ideal of polynomials in $\mathbb{Q}[x_1,...,x_r]$ vanishing at the point $({\alpha }_1,...,{\alpha }_r)$.

Soit $h$ la hauteur logarithmique absolue de Weil sur ${\overline{\mathbb{Q}}}^{\times }$. En utilisant l’inégalité des pentes de J.-B. Bost, nous donnons dans cet article une preuve du résultat suivant dû à Dobrowolski : il existe une constante $c\>0$ telle que$$\forall x\in {𝔾}_m\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)\setminus {\mu }_{\infty }h\left(x\right)\ge \frac{c}{D}{\left(\frac{loglog3D}{log2D}\right)}^3,$$avec $D=\left[\mathbb{Q}\right(x):\mathbb{Q}]$ et où ${\mu }_{\infty }$ représente le groupe des racines de l’unité.

This is a survey paper on the distribution of algebraic points on algebraic varieties.

Nous montrons dans la première partie l’existence d’un prolongement méromorphe à tout le plan complexe$ℂ$ et explicitons les propriétés et quelques conséquences, d’une large classe de séries zêta des hauteurs associées à l’espace projectif ${\mathbb{P}}_n\left(\mathbb{Q}\right)$$(n\ge 1...$