We give a general definition of branched, self-similar Lie algebras, and show that important examples of Lie algebras fall into that class. We give sufficient conditions for a self-similar Lie algebra to be nil, and prove in this manner that the self-similar algebras associated with Grigorchuk’s and Gupta–Sidki’s torsion groups are nil as well as self-similar.We derive the same results for a class of examples constructed by Petrogradsky, Shestakov and Zelmanov.
Denote by , , the regular tree whose vertices have valence , its boundary. Yu. A. Neretin has proposed a group of transformations of , thought of as a combinatorial analogue of the diffeomorphism group of the circle. We show that is generated by two groups: the group of tree automorphisms, and a Higman-Thompson group . We prove the simplicity of and of a family of its subgroups.
Let be a non-trivial algebraically closed group and be a subset of generating in infinitely many steps. We give a construction of a binary tree associated with . Using this we show that if is -existentially closed then it is strongly bounded.
Sela a annoncé une solution complète d’un problème de Tarski, qui demanda vers 1945 quels sont les groupes de type fini qui ont la même théorie élémentaire qu’un groupe libre. Nous discuterons des travaux de Remeslennikov, Kharlampovich-Myasnikov, Sela, Champetier-Guirardel et autres sur la structure des groupes limites (les groupes de type fini qui sont “limites”de groupes libres, ou encore, qui ont la même théorie universelle qu’un groupe libre). Nous indiquerons quelques outils utilisés par Sela...
Soit un groupe et un -arbre. Dans cet article, nous supposons que ne se scinde pas comme amalgame , ou HNN extension au-dessus d’un groupe qui stabilise un segment de longueur dans ; si de plus ne contient pas de sous-arbre -invariant, nous montrons que le nombre de sommets de est majoré par 12, où mesure la complexité d’une présentation de .