We compute numerically the minimizers of the Dirichlet energy$$E\left(u\right)=\frac{1}{2}{\int }_{B^2}{\left|\nabla u\right|}^2\mathrm{d}x$$among maps $u:B^2\to S^2$ from the unit disc into the unit sphere that satisfy a boundary condition and a degree condition. We use a Sobolev gradient algorithm for the minimization and we prove that its continuous version preserves the degree. For the discretization of the problem we use continuous $P_1$ finite elements. We propose an original mesh-refining strategy needed to preserve the degree with the discrete version of the algorithm (which is a preconditioned...

Un groupe localement compact $G$ a la propriété (T) de Kazhdan si la $1$-cohomologie de tout $G$-module hilbertien est nulle. Cette propriété de rigidité de la théorie des représentations de $G$ a trouvé des applications qui vont de la théorie ergodique à la théorie des graphes. Pendant près de 30 ans, les seuls exemples connus de groupes avec la propriété (T), provenaient des groupes algébriques simples sur les corps locaux, ou de leurs réseaux. La situation a radicalement changé ces dernières années :...