La méthode des fonctions majorantes et les systèmes d'équations aux dérivées partielles

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1. (1) BRIOT et BOUQUET, Mémoire sur les fonctions définies par les équations différentielles (Journal de l'École Polytechnique, cahier XXXVI). 
2. (2) MERAY, Revue des Sociétés savantes, Sciences mathématiques, physiques et naturelles, t. III, 1868; JFM46.0037.02
3. Nouveau Précis d'Analyse infinitésimale, 1872, p. 143. 
4. _ BOUQUET, Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, t. III, 1872, p. 265. 
5. Une nouvelle démonstration du même point, pour laquelle M. Riquier a prêté sa collaboration à Méray, a été publiée en 1889 dans les Annales de l'École Normale (MÉRAY et RIQUIER, Sur la convergence des développements des intégrales d'un système d'équations différentielles totales); elle se trouve reproduite dans l'Ouvrage de Méray ayant pour titre : Leçons nouvelles sur l'Analyse infinitésimale et ses applications géométriques (Première Partie, p. 256 et suiv.). 
6. (3) Tome LXXX. 
7. (4) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. LXXX, p. 101 et 317. 
8. (5) MÉRAY, Démonstration générale de l'existence des intégrales des équations aux dérivées partielles (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3e série, t. VI). Zbl12.0283.02JFM12.0283.02
9. (6) Voir RIQUIER, Les systèmes d'équations aux dérivées partielles. Préface. JFM40.0411.01
10. (7) MÉRAY et RIQUIER, Sur la convergence des développements des intégrales ordinaires d'un système d'équations différentielles partielles (Annales de l'École Normale, 1890). JFM22.0348.02
11. Ce dernier Mémoire a suggéré à Bourlet le sujet de sa Thèse de doctorat ( Sur les équations aux dérivées partielles simultanées qui contiennent plusieurs fonctions inconnues, 1891). Bourlet parvint à établir qu'un système différentiel quelconque est réductible à une forme du premier ordre dans laquelle la convergence des développements des intégrales est assurée ; mais, sauf des cas fortuits, la forme dont il s'agit n'était pas complètement intégrable, et, par suite, ne faisait nullement connaître le nombre et la nature des éléments arbitraires dont dépendent les intégrales générales. 
12. (8) Les diverses recherches résumées aux nos 6 et 7 se trouvent exposées en détail dans l'Ouvrage d'ensemble qu'indique la note (6). 
13. (9) Sur la forme que prend, par la suppression de certains termes, un développement en série entière (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 31 mai 1898), 
14. (10) Ce résultat, exposé dans le Chapitre XIV de l'Ouvrage cité (Les systèmes, etc.), a été publié par M. Riquier dès 1893 (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 28 mars 1892, 07 février 1893, 24 avril 1893; Annales de l'École Normale, 1893). Trois ans après, M. Delassus, à l'aide d'une méthode toute différente essentiellement basée sur le changement des variables, s'efforça de donner une deuxième solution du problème déjà résolu par M. Riquier [Extension du théorème de Cauchy aux systèmes les plus généraux d'équations aux dérivées partielles (Annales de l'École Normale, 1896)]; mais les résultats qu'il a obtenus ne présentent pas toute la généralité qu'il leur attribuait, et, comme l'ont signalé MM. Gunther et Robinson (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 14 avril 1913), il existe des systèmes auxquels cette méthode ne s'applique pas. 
15. (11) Les systèmes, etc., Chap XIV; Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 22 janvier 1900. 
16. (12) Et que d'autres auteurs ont utilisé après lui; nous en reproduisons l'énoncé au n° 35 du présent fascicule. 
17. (13) Sur l'existence, dans certains systèmes différentiels, des intégrales répondant à des conditions initiales données (Annales de l'École Normale, 1904); Zbl35.0326.01JFM35.0326.01
18. Sur les conditions d'intégrabilité complète de certains systèmes différentiels (Annales de l'École Normale, 1907); Zbl38.0367.01JFM38.0367.01
19. Les systèmes, etc., Chap. IX et X. 
20. (14) La Thèse de doctorat de M. Maurice Janet, notamment Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles, 1920, a pour objet, comme le dit l'auteur lui même, un nouvel exposé des résultats de M. Riquier : c'est pourquoi, faute de place, nous nous bornons à la mentionner dans cette note. 
21. (15) RIQUIER, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 23 décembre 1901; Annales de l'École Normale, 1903. 
22. (16) Un Mémoire de M. Riquier, résumé au Chapitre VII du présent fascicule, a paru sur ce sujet dans les Annales de l'École Normale, 1927. 
23. (17) Il va sans dire que la signification actuelle du mot coupure n'a rien de commun avec celle qu'on lui donne couramment dans la théorie des fonctions d'une variable imaginaire. 
24. (18) Les systèmes, etc., n° 92. 
25. (19) Dans le cas où les seconds membres du système se réduisent tous a zéro, on est conduit à un résultat particulièrement simple (ibid., n° 94). 
26. (20) Le n° 97 est consacré à des exemples. 
27. (21) Les systèmes, etc., n° 65, 
28. (22) Voir à ce sujet le Mémoire de M. Riquier ayant pour titre : Sur le degré de généralité d'un système différentiel quelconque (Acta mathematica, t. XXV, p. 348 et 349). 
29. (23) Voir, pour l'exposé détaillé, Les systèmes, etc., Chap. XI; voir aussi, au Chapitre XIV, les nos 224 et 225. 
30. (24) Pour la démonstration détaillée des résultats résumés dans le Chapitre V du présent fascicule, voir Les systèmes, etc., Chap. IX et X. 
31. (25) Ainsi qu'il est dit au Chapitre I du présent fascicule (n° 7), ce lemme, que d'autres auteurs ont ensuite utilisé, a été signalé par M. Riquier. 
32. (26) Une recherche antérieure ( GOURSAT, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 2 novembre 1897) assignait comme condition suffisante à l'existence de l'intégrale l'égalité A0 B0 = 0, qui se trouve renfermée comme cas particulier dans l'inégalité mod (A0B0 ) < 1/4. 
33. Une recherche postérieure, qui ne repose pas sur la considération des fonctions majorantes ( GUNTHER, Rec. Math., XXXII, n° 1, 1924 ), astreint simplement la quantité A0B0 _ 1/4 à n'être pas un nombre positif : cette dernière condition renferme a son tour comme cas particulier l'inégalité mod (A0B0) < 1/4. 
34. (27) RIQUIER, Sur le calcul par cheminement des intégrales de certains systèmes différentiels (Annales de l'École Normale, 1903). Zbl34.0379.04JFM34.0379.04
35. (28) Le Chapitre VII du présent fascicule est, comme nous l'avons dit plus haut, le résumé d'un Mémoire récemment paru (1927) dans les Annales de l'École Normale. 
36. (29) Ces systèmes peuvent impliquer un nombre quelconque de fonctions inconnues (voir Les systèmes, etc., n° 206). 
37. (30) C'est ce que nous indiquons en détail dans le Mémoire, auquel fait allusion la note (28).