Sur un problème de L. Carlitz

Saïd El Baghdadi. "Sur un problème de L. Carlitz." Acta Arithmetica 69.1 (1995): 39-50. <http://eudml.org/doc/206671>.

@article{SaïdElBaghdadi1995,
abstract = {1. Introduction. Dickson a conjecturé en 1909 dans [4] que toute forme binaire Q(X,Y) de degré pair 2r, r>1, à coefficients dans un corps fini $_q$ de caractéristique différente de 2 telle que, pour tout (a,b) de $_q × _q$ distinct de (0,0), Q(a,b) soit un carré non nul de $_q$ est un carré dès que q dépasse une certaine borne $N_r$ qui ne dépend que de r. Cette conjecture a été démontrée en 1947 par Carlitz dans [1] où il a montré que, si d est un entier ≥2, q une puissance d’un nombre premier impair telle que q>(d-1)² et f un élément de $_q[X]$ de degré d tel que, pour tout x de $_q$, f(x) soit un carré non nul de $_q$, f est un carré de $_q[X]$. Carlitz est revenu sur cette question dans deux autres articles [2] et [3] démontrant notamment dans [2] que, pour tout entier d≥2, il existe un entier N(d) tel que, si q≥3 est une puissance d’un nombre premier impair telle que q>N(d) et si f est un élément de degré d de $_q[X]$ tel que, pour tout x de $_q$, f(x) soit un carré de $_q$, f est un carré de $_q[X]$. Nous reprenons ici ce problème de Carlitz en montrant que, pour d impair, on peut prendre N(d)=d², que pour d pair ≥4, on peut prendre N(d)=(d-1)² et que ces valeurs de N(d) ne peuvent en général être améliorées; nous montrons aussi, en adaptant une méthode introduite par Stark [9], que lorsqu’on se restreint aux corps finis premiers, on peut prendre N(d)=(d²+2d-1)/2 pour d impair et (d²+d-4)/2 pour d pair et ≥4. Nous avons étudié ce problème dans un cadre un peu plus général en définissant des fonctions généralisant la borne N(d) de Carlitz et c’est l’étude de ces dernières qui est à la base de nos résultats. Je remercie G. Terjanian qui m’a aidé dans ce travail et le rapporteur pour ses remarques qui m’ont permis d’améliorer la rédaction de cet article.},
author = {Saïd El Baghdadi},
journal = {Acta Arithmetica},
keywords = {finite fields; polynomials; square in finite fields; Weil's inequality; Stark's method},
language = {fre},
number = {1},
pages = {39-50},
title = {Sur un problème de L. Carlitz},
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volume = {69},
year = {1995},
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TY - JOUR
AU - Saïd El Baghdadi
TI - Sur un problème de L. Carlitz
JO - Acta Arithmetica
PY - 1995
VL - 69
IS - 1
SP - 39
EP - 50
AB - 1. Introduction. Dickson a conjecturé en 1909 dans [4] que toute forme binaire Q(X,Y) de degré pair 2r, r>1, à coefficients dans un corps fini $_q$ de caractéristique différente de 2 telle que, pour tout (a,b) de $_q × _q$ distinct de (0,0), Q(a,b) soit un carré non nul de $_q$ est un carré dès que q dépasse une certaine borne $N_r$ qui ne dépend que de r. Cette conjecture a été démontrée en 1947 par Carlitz dans [1] où il a montré que, si d est un entier ≥2, q une puissance d’un nombre premier impair telle que q>(d-1)² et f un élément de $_q[X]$ de degré d tel que, pour tout x de $_q$, f(x) soit un carré non nul de $_q$, f est un carré de $_q[X]$. Carlitz est revenu sur cette question dans deux autres articles [2] et [3] démontrant notamment dans [2] que, pour tout entier d≥2, il existe un entier N(d) tel que, si q≥3 est une puissance d’un nombre premier impair telle que q>N(d) et si f est un élément de degré d de $_q[X]$ tel que, pour tout x de $_q$, f(x) soit un carré de $_q$, f est un carré de $_q[X]$. Nous reprenons ici ce problème de Carlitz en montrant que, pour d impair, on peut prendre N(d)=d², que pour d pair ≥4, on peut prendre N(d)=(d-1)² et que ces valeurs de N(d) ne peuvent en général être améliorées; nous montrons aussi, en adaptant une méthode introduite par Stark [9], que lorsqu’on se restreint aux corps finis premiers, on peut prendre N(d)=(d²+2d-1)/2 pour d impair et (d²+d-4)/2 pour d pair et ≥4. Nous avons étudié ce problème dans un cadre un peu plus général en définissant des fonctions généralisant la borne N(d) de Carlitz et c’est l’étude de ces dernières qui est à la base de nos résultats. Je remercie G. Terjanian qui m’a aidé dans ce travail et le rapporteur pour ses remarques qui m’ont permis d’améliorer la rédaction de cet article.
LA - fre
KW - finite fields; polynomials; square in finite fields; Weil's inequality; Stark's method
UR - http://eudml.org/doc/206671
ER -