Moyennes sphériques et opérateur de Helmholtz itéré

Francisco Vieli

Colloquium Mathematicae (1995)

  • Volume: 68, Issue: 2, page 207-218
  • ISSN: 0010-1354

Abstract

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Il est bien connu qu’une fonction f sur ℝ n est harmonique - Δf = 0 - si et seulement si sa moyenne sur toute sphère est égale à sa valeur au centre de cette sphère. De manière semblable, f vérifie l’équation de Helmholtz Δf + cf = 0 si et seulement si sa moyenne sur la sphère de centre x et de rayon r vaut Γ ( n / 2 ) ( r √ c / 2 ) ( 2 - n ) / 2 J ( n - 2 ) / 2 ( r √ c ) · f ( x ) . Dans ce travail, nous généralisons ces résultats à l’opérateur ( Δ + c ) k où k est un entier strictement positif et c une constante non nulle. Bien qu’une méthode pour y parvenir soit esquissée dans [CH] (pp. 286-289), il semble que les calculs explicites nécessaires n’aient jamais été faits en toute généralité pour cet opérateur (voir, pour le cas n=3, [F], p. 87). La formule de la moyenne à laquelle nous aboutissons permet de démontrer - résultat cité par Herz ([H], p. 711) - qu’une fonction bornée f dont le spectre est dans S n - 1 vérifie ( Δ + 4 π 2 ) k f = 0 où k = ⌊ ( n + 1 ) / 2 ⌋ , et ceci sans utiliser Beurling-Pollard.

How to cite

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Vieli, Francisco. "Moyennes sphériques et opérateur de Helmholtz itéré." Colloquium Mathematicae 68.2 (1995): 207-218. <http://eudml.org/doc/210305>.

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abstract = {Il est bien connu qu’une fonction $f$ sur $ℝ^\{n\}$ est harmonique - Δf = 0 - si et seulement si sa moyenne sur toute sphère est égale à sa valeur au centre de cette sphère. De manière semblable, f vérifie l’équation de Helmholtz Δf + cf = 0 si et seulement si sa moyenne sur la sphère de centre x et de rayon r vaut $Γ(n/2)(r√c/2)^\{(2-n)/2\} J_\{(n-2)/2\}(r√c)·f(x)$. Dans ce travail, nous généralisons ces résultats à l’opérateur $(Δ + c)^k$ où k est un entier strictement positif et c une constante non nulle. Bien qu’une méthode pour y parvenir soit esquissée dans [CH] (pp. 286-289), il semble que les calculs explicites nécessaires n’aient jamais été faits en toute généralité pour cet opérateur (voir, pour le cas n=3, [F], p. 87). La formule de la moyenne à laquelle nous aboutissons permet de démontrer - résultat cité par Herz ([H], p. 711) - qu’une fonction bornée f dont le spectre est dans $S^\{n-1\}$ vérifie $(Δ + 4π^\{2\})^\{k\} f =0$ où $k=⌊(n+1)/2⌋$, et ceci sans utiliser Beurling-Pollard.},
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TY - JOUR
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TI - Moyennes sphériques et opérateur de Helmholtz itéré
JO - Colloquium Mathematicae
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AB - Il est bien connu qu’une fonction $f$ sur $ℝ^{n}$ est harmonique - Δf = 0 - si et seulement si sa moyenne sur toute sphère est égale à sa valeur au centre de cette sphère. De manière semblable, f vérifie l’équation de Helmholtz Δf + cf = 0 si et seulement si sa moyenne sur la sphère de centre x et de rayon r vaut $Γ(n/2)(r√c/2)^{(2-n)/2} J_{(n-2)/2}(r√c)·f(x)$. Dans ce travail, nous généralisons ces résultats à l’opérateur $(Δ + c)^k$ où k est un entier strictement positif et c une constante non nulle. Bien qu’une méthode pour y parvenir soit esquissée dans [CH] (pp. 286-289), il semble que les calculs explicites nécessaires n’aient jamais été faits en toute généralité pour cet opérateur (voir, pour le cas n=3, [F], p. 87). La formule de la moyenne à laquelle nous aboutissons permet de démontrer - résultat cité par Herz ([H], p. 711) - qu’une fonction bornée f dont le spectre est dans $S^{n-1}$ vérifie $(Δ + 4π^{2})^{k} f =0$ où $k=⌊(n+1)/2⌋$, et ceci sans utiliser Beurling-Pollard.
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KW - harmonic functions; Helmholtz equation; mean value formula; iterated Helmholtz equation
UR - http://eudml.org/doc/210305
ER -

References

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