Théorie de l'intégrale

Saks, S

  • Publisher: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk(Warszawa), 1933

Abstract

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PRÉFACE.............................................. IIIERRATA............................................... VIIICHAPITRE I. Fonctions de figure élémentaire.Fonctions d'ensemble. Remarques préliminaires [§ 1].. 1Termes et notations [§ 2-4].......................... 2Intervalle. Figure élémentaire [§ 5].......................... 5Fonctions de figure élémentaire [§ 6].......................... 6Fonctions continues. Oscillation [§ 7].......................... 7Fonctions additives. Variations [§ 8-9].......................... 7Décomposition canonique de Jordan [§ 10].......................... 8Fonctions monotones [§ 11].......................... 9Ecarts des fonctions. Fonctions absolument continues [§ 12].......................... 10Fonctions singulières. Décomposition de Lebesgue [§ 13].......................... 11Fonctions d'une variable réelle [§ 14-15].......................... 17CHAPITRE II. Mesure de Lebesgue. Ensembles et fonctions mesurables.Préliminaires [§ 1].......................... 22Mesure extérieure [§ 2-3].......................... 24Ensembles mesurables [§ 4-6].......................... 26Théorème de V i t a l i [§ 7].......................... 33Fonctions de point [§ 8].......................... 36Fonctions mesurables [§ 9].......................... 36Fonctions continues et semicontinues [§ 10].......................... 40Théorème de Egoroff [§ 11].......................... 42Théorème de Lusin sur les fonctions mesurables [§ 12].......................... 44CHAPITRE III. Fonctions à variations bornées.Nombres dérives des fonctions d'intervalle [§ 1-2].......................... 46Théorème de Lebesgue [§ 3-4].......................... 48Suites monotones de fonctions additives [§ 5].......................... 52Points de densité d'un ensemble [§ 6].......................... 53Fonctions singulières [§ 7].......................... 55Applications, Courbes rectifiables [§ 8].......................... 56CHAPITRE IV. Intégrale de Lebesgue (définition descriptive)Fonctions sommables [§ 1-2].......................... 61Fonction caractéristique d'un ensemble [§ 3].......................... 64Sommabilité absolue des fonctions [§ 4].......................... 65Théorème sur l'intégration par parties [§ 5].......................... 68Intégrales multiples. Théorème de Fubini [§ 6-7].......................... 69Applications. Longueur d'un arc de courbe [§ 8].......................... 76CHAPITRE V. Intégrale de Lebesgue (définition géométrique).Image et aire d'une fonction [§ 1-2].......................... 78Définition géométrique de l'intégrale [§ 3].......................... 82Intégration des suites de fonctions [§ 4].......................... 84Théorèmes de la moyenne [§ 5].......................... 85Théorème de Vitali-Carathéodory[§ 6].......................... 88Intégrale de Riemann-Stieltjes [§ 7-9].......................... 91CHAPITRE VI. Aire d'une surface z = w(x,y)Préliminaires [§ 1].......................... 99Aire d'une surface courbe [§ 2].......................... 101Fonctions d'intervalle. Intégrale de Burkill [§ 3-8].......................... 102Inégalités auxiliaires [§ 9].......................... 107Fonctions a variation bornée et absolument continues de deuxvariables [§10]....................................................... 108Expressions de Z. de Geöcze [§ 11-13].......................... 109Théorème de Radó [§ 14].......................... 116Théorème de Tonelli [§ 15].......................... 120CHAPITRE VII. Intégrale de PerronPréliminaires. Intégrale de Newton [§ 1].......................... 122Le théorème fondamental de la théorie de Perron [§ 2].......................... 126Fonctions majorantes et minorantes [§ 3].......................... 128Intégrale définie de Perron [§ 4-5].......................... 128Intégrale indéfinie de Perron [§ 6].......................... 132Lemme de Zygmund [§ 8].......................... 137Théorèmes de Scheeffer et de Dini [§ 9].......................... 138Intégrale de Perron d'une fonction de variable réelle [§ 10].......................... 139CHAPITRE VIII. Fonctions à variations bornée généralisée.Préliminaires [§ 1].......................... 142Théorème de Baire [§ 2].......................... 144Limites approximatives [§ 3].......................... 144Dérivées approximatives et relatives [§ 4].......................... 146Fonctions a variation bornée sur un ensemble [§ 5-6].......................... 148Fonctions a variation bornée généralisée [§ 7].......................... 150Fonctions absolument continues sur un ensemble [§ 8].......................... 151Fonctions absolument continues généralisées [§ 9].......................... 152Condition (N) de Lusin [§ 10-11].......................... 153Fonctions a variation bornée au sens restreint [§ 12-13].......................... 158Fonctions a variation bornés généralisée au sens restreint [§ 14].......................... 160Fonctions absolument continues au sens restreint [§15].......................... 161Fonctions absolument continues généralisées au sens restreint [§ 16].......................... 161Définitions de Denjoy-Lusin [§ 17].......................... 164CHAPITRE IX. Théorèmes sur les nombres dérives.Préliminaires [§ 1].......................... 167Deux théorèmes élémentaires [§ 2].......................... 167Théorèmes de Denjoy [§ 3-5].......................... 168Condition (T1) de Banach [§ 6].......................... 177Condition (T2) de Banach [§ 7].......................... 180Fonctions remplissant la condition (N) [§ 8].......................... 182Condition (D) [§ 9].......................... 185Critères sur les classes (VBG*) et (ACG*) [§ 10-11]............................ 188Critères sur les classes (VBG) et (ACG) [§ 12-14].......................... 190CHAPITRE X. Intégrales de Denjoy.Préliminaires [§ 1].......................... 197Propriétés fondamentales des intégrales de Denjoy [§ 2-3].......................... 197Généralisation du théorème de Scheeffer [§ 4].......................... 200Théorème sur l'intégration par parties généralisé [§ 5].......................... 201Deuxième théorème de la moyenne pour les intégrales de Denjoy [§ 6].......................... 203Opérations intégrales générales [§ 7-8].......................... 204Opérations intégrales complètes [§ 9-11].......................... 205Théorèmes de Hake et d'Alexandroff-Looman [§ 12-13].......................... 211Intégrales généralisées de Cauchy et de Harnack [§ 14-15].......................... 217Définition constructive des intégrales de Denjoy [§ 16].......................... 219CHAPITRE XI. Fonctions de deux variables réelles.Préliminaires [§ 1].......................... 222Différentielle totale et différentielle approximative [§ 2-3].......................... 223Critère pour l'existence de la différentielle approximative [§ 4-6].......................... 225Critère pour l'existence de la différentielle totale [§ 7-9].......................... 233Fonctions complexes de variable complexe. Fonctions holomorphes[§ 10-13].......................... 239Théorème de Looman-Menchoff [§ 14-15].......................... 242ANNEXE. Intégrale de Lebesgue dans les espaces abstraits.Généralités [§ 1].......................... 247Fonctions additives au sens complet [§ 2-3].......................... 247Fonctions mesurables [§ 4].......................... 251Mesure et intégrale [§ 5-8].......................... 251Espaces-produits [§ 9].......................... 257Mesure et intégrale dans les espaces-produits [§ 10-11].......................... 259NOTE. Sur la mesure de Haar par STEFAN BANACH.................................... 264OUVRAGES CITÉS....................................................................... 273INDEX TERMINOLOGIQUE................................................................. 285INDEX TERMINOLOGIQUE................................................................. 285

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Saks, S. Théorie de l'intégrale. Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk, 1933. <http://eudml.org/doc/219318>.

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abstract = {PRÉFACE.............................................. IIIERRATA............................................... VIIICHAPITRE I. Fonctions de figure élémentaire.Fonctions d'ensemble. Remarques préliminaires [§ 1].. 1Termes et notations [§ 2-4].......................... 2Intervalle. Figure élémentaire [§ 5].......................... 5Fonctions de figure élémentaire [§ 6].......................... 6Fonctions continues. Oscillation [§ 7].......................... 7Fonctions additives. Variations [§ 8-9].......................... 7Décomposition canonique de Jordan [§ 10].......................... 8Fonctions monotones [§ 11].......................... 9Ecarts des fonctions. Fonctions absolument continues [§ 12].......................... 10Fonctions singulières. Décomposition de Lebesgue [§ 13].......................... 11Fonctions d'une variable réelle [§ 14-15].......................... 17CHAPITRE II. Mesure de Lebesgue. Ensembles et fonctions mesurables.Préliminaires [§ 1].......................... 22Mesure extérieure [§ 2-3].......................... 24Ensembles mesurables [§ 4-6].......................... 26Théorème de V i t a l i [§ 7].......................... 33Fonctions de point [§ 8].......................... 36Fonctions mesurables [§ 9].......................... 36Fonctions continues et semicontinues [§ 10].......................... 40Théorème de Egoroff [§ 11].......................... 42Théorème de Lusin sur les fonctions mesurables [§ 12].......................... 44CHAPITRE III. Fonctions à variations bornées.Nombres dérives des fonctions d'intervalle [§ 1-2].......................... 46Théorème de Lebesgue [§ 3-4].......................... 48Suites monotones de fonctions additives [§ 5].......................... 52Points de densité d'un ensemble [§ 6].......................... 53Fonctions singulières [§ 7].......................... 55Applications, Courbes rectifiables [§ 8].......................... 56CHAPITRE IV. Intégrale de Lebesgue (définition descriptive)Fonctions sommables [§ 1-2].......................... 61Fonction caractéristique d'un ensemble [§ 3].......................... 64Sommabilité absolue des fonctions [§ 4].......................... 65Théorème sur l'intégration par parties [§ 5].......................... 68Intégrales multiples. Théorème de Fubini [§ 6-7].......................... 69Applications. Longueur d'un arc de courbe [§ 8].......................... 76CHAPITRE V. Intégrale de Lebesgue (définition géométrique).Image et aire d'une fonction [§ 1-2].......................... 78Définition géométrique de l'intégrale [§ 3].......................... 82Intégration des suites de fonctions [§ 4].......................... 84Théorèmes de la moyenne [§ 5].......................... 85Théorème de Vitali-Carathéodory[§ 6].......................... 88Intégrale de Riemann-Stieltjes [§ 7-9].......................... 91CHAPITRE VI. Aire d'une surface z = w(x,y)Préliminaires [§ 1].......................... 99Aire d'une surface courbe [§ 2].......................... 101Fonctions d'intervalle. Intégrale de Burkill [§ 3-8].......................... 102Inégalités auxiliaires [§ 9].......................... 107Fonctions a variation bornée et absolument continues de deuxvariables [§10]....................................................... 108Expressions de Z. de Geöcze [§ 11-13].......................... 109Théorème de Radó [§ 14].......................... 116Théorème de Tonelli [§ 15].......................... 120CHAPITRE VII. Intégrale de PerronPréliminaires. Intégrale de Newton [§ 1].......................... 122Le théorème fondamental de la théorie de Perron [§ 2].......................... 126Fonctions majorantes et minorantes [§ 3].......................... 128Intégrale définie de Perron [§ 4-5].......................... 128Intégrale indéfinie de Perron [§ 6].......................... 132Lemme de Zygmund [§ 8].......................... 137Théorèmes de Scheeffer et de Dini [§ 9].......................... 138Intégrale de Perron d'une fonction de variable réelle [§ 10].......................... 139CHAPITRE VIII. Fonctions à variations bornée généralisée.Préliminaires [§ 1].......................... 142Théorème de Baire [§ 2].......................... 144Limites approximatives [§ 3].......................... 144Dérivées approximatives et relatives [§ 4].......................... 146Fonctions a variation bornée sur un ensemble [§ 5-6].......................... 148Fonctions a variation bornée généralisée [§ 7].......................... 150Fonctions absolument continues sur un ensemble [§ 8].......................... 151Fonctions absolument continues généralisées [§ 9].......................... 152Condition (N) de Lusin [§ 10-11].......................... 153Fonctions a variation bornée au sens restreint [§ 12-13].......................... 158Fonctions a variation bornés généralisée au sens restreint [§ 14].......................... 160Fonctions absolument continues au sens restreint [§15].......................... 161Fonctions absolument continues généralisées au sens restreint [§ 16].......................... 161Définitions de Denjoy-Lusin [§ 17].......................... 164CHAPITRE IX. Théorèmes sur les nombres dérives.Préliminaires [§ 1].......................... 167Deux théorèmes élémentaires [§ 2].......................... 167Théorèmes de Denjoy [§ 3-5].......................... 168Condition (T1) de Banach [§ 6].......................... 177Condition (T2) de Banach [§ 7].......................... 180Fonctions remplissant la condition (N) [§ 8].......................... 182Condition (D) [§ 9].......................... 185Critères sur les classes (VBG*) et (ACG*) [§ 10-11]............................ 188Critères sur les classes (VBG) et (ACG) [§ 12-14].......................... 190CHAPITRE X. Intégrales de Denjoy.Préliminaires [§ 1].......................... 197Propriétés fondamentales des intégrales de Denjoy [§ 2-3].......................... 197Généralisation du théorème de Scheeffer [§ 4].......................... 200Théorème sur l'intégration par parties généralisé [§ 5].......................... 201Deuxième théorème de la moyenne pour les intégrales de Denjoy [§ 6].......................... 203Opérations intégrales générales [§ 7-8].......................... 204Opérations intégrales complètes [§ 9-11].......................... 205Théorèmes de Hake et d'Alexandroff-Looman [§ 12-13].......................... 211Intégrales généralisées de Cauchy et de Harnack [§ 14-15].......................... 217Définition constructive des intégrales de Denjoy [§ 16].......................... 219CHAPITRE XI. Fonctions de deux variables réelles.Préliminaires [§ 1].......................... 222Différentielle totale et différentielle approximative [§ 2-3].......................... 223Critère pour l'existence de la différentielle approximative [§ 4-6].......................... 225Critère pour l'existence de la différentielle totale [§ 7-9].......................... 233Fonctions complexes de variable complexe. Fonctions holomorphes[§ 10-13].......................... 239Théorème de Looman-Menchoff [§ 14-15].......................... 242ANNEXE. Intégrale de Lebesgue dans les espaces abstraits.Généralités [§ 1].......................... 247Fonctions additives au sens complet [§ 2-3].......................... 247Fonctions mesurables [§ 4].......................... 251Mesure et intégrale [§ 5-8].......................... 251Espaces-produits [§ 9].......................... 257Mesure et intégrale dans les espaces-produits [§ 10-11].......................... 259NOTE. 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Ensembles et fonctions mesurables.Préliminaires [§ 1].......................... 22Mesure extérieure [§ 2-3].......................... 24Ensembles mesurables [§ 4-6].......................... 26Théorème de V i t a l i [§ 7].......................... 33Fonctions de point [§ 8].......................... 36Fonctions mesurables [§ 9].......................... 36Fonctions continues et semicontinues [§ 10].......................... 40Théorème de Egoroff [§ 11].......................... 42Théorème de Lusin sur les fonctions mesurables [§ 12].......................... 44CHAPITRE III. Fonctions à variations bornées.Nombres dérives des fonctions d'intervalle [§ 1-2].......................... 46Théorème de Lebesgue [§ 3-4].......................... 48Suites monotones de fonctions additives [§ 5].......................... 52Points de densité d'un ensemble [§ 6].......................... 53Fonctions singulières [§ 7].......................... 55Applications, Courbes rectifiables [§ 8].......................... 56CHAPITRE IV. Intégrale de Lebesgue (définition descriptive)Fonctions sommables [§ 1-2].......................... 61Fonction caractéristique d'un ensemble [§ 3].......................... 64Sommabilité absolue des fonctions [§ 4].......................... 65Théorème sur l'intégration par parties [§ 5].......................... 68Intégrales multiples. Théorème de Fubini [§ 6-7].......................... 69Applications. Longueur d'un arc de courbe [§ 8].......................... 76CHAPITRE V. Intégrale de Lebesgue (définition géométrique).Image et aire d'une fonction [§ 1-2].......................... 78Définition géométrique de l'intégrale [§ 3].......................... 82Intégration des suites de fonctions [§ 4].......................... 84Théorèmes de la moyenne [§ 5].......................... 85Théorème de Vitali-Carathéodory[§ 6].......................... 88Intégrale de Riemann-Stieltjes [§ 7-9].......................... 91CHAPITRE VI. Aire d'une surface z = w(x,y)Préliminaires [§ 1].......................... 99Aire d'une surface courbe [§ 2].......................... 101Fonctions d'intervalle. Intégrale de Burkill [§ 3-8].......................... 102Inégalités auxiliaires [§ 9].......................... 107Fonctions a variation bornée et absolument continues de deuxvariables [§10]....................................................... 108Expressions de Z. de Geöcze [§ 11-13].......................... 109Théorème de Radó [§ 14].......................... 116Théorème de Tonelli [§ 15].......................... 120CHAPITRE VII. Intégrale de PerronPréliminaires. Intégrale de Newton [§ 1].......................... 122Le théorème fondamental de la théorie de Perron [§ 2].......................... 126Fonctions majorantes et minorantes [§ 3].......................... 128Intégrale définie de Perron [§ 4-5].......................... 128Intégrale indéfinie de Perron [§ 6].......................... 132Lemme de Zygmund [§ 8].......................... 137Théorèmes de Scheeffer et de Dini [§ 9].......................... 138Intégrale de Perron d'une fonction de variable réelle [§ 10].......................... 139CHAPITRE VIII. Fonctions à variations bornée généralisée.Préliminaires [§ 1].......................... 142Théorème de Baire [§ 2].......................... 144Limites approximatives [§ 3].......................... 144Dérivées approximatives et relatives [§ 4].......................... 146Fonctions a variation bornée sur un ensemble [§ 5-6].......................... 148Fonctions a variation bornée généralisée [§ 7].......................... 150Fonctions absolument continues sur un ensemble [§ 8].......................... 151Fonctions absolument continues généralisées [§ 9].......................... 152Condition (N) de Lusin [§ 10-11].......................... 153Fonctions a variation bornée au sens restreint [§ 12-13].......................... 158Fonctions a variation bornés généralisée au sens restreint [§ 14].......................... 160Fonctions absolument continues au sens restreint [§15].......................... 161Fonctions absolument continues généralisées au sens restreint [§ 16].......................... 161Définitions de Denjoy-Lusin [§ 17].......................... 164CHAPITRE IX. Théorèmes sur les nombres dérives.Préliminaires [§ 1].......................... 167Deux théorèmes élémentaires [§ 2].......................... 167Théorèmes de Denjoy [§ 3-5].......................... 168Condition (T1) de Banach [§ 6].......................... 177Condition (T2) de Banach [§ 7].......................... 180Fonctions remplissant la condition (N) [§ 8].......................... 182Condition (D) [§ 9].......................... 185Critères sur les classes (VBG*) et (ACG*) [§ 10-11]............................ 188Critères sur les classes (VBG) et (ACG) [§ 12-14].......................... 190CHAPITRE X. Intégrales de Denjoy.Préliminaires [§ 1].......................... 197Propriétés fondamentales des intégrales de Denjoy [§ 2-3].......................... 197Généralisation du théorème de Scheeffer [§ 4].......................... 200Théorème sur l'intégration par parties généralisé [§ 5].......................... 201Deuxième théorème de la moyenne pour les intégrales de Denjoy [§ 6].......................... 203Opérations intégrales générales [§ 7-8].......................... 204Opérations intégrales complètes [§ 9-11].......................... 205Théorèmes de Hake et d'Alexandroff-Looman [§ 12-13].......................... 211Intégrales généralisées de Cauchy et de Harnack [§ 14-15].......................... 217Définition constructive des intégrales de Denjoy [§ 16].......................... 219CHAPITRE XI. Fonctions de deux variables réelles.Préliminaires [§ 1].......................... 222Différentielle totale et différentielle approximative [§ 2-3].......................... 223Critère pour l'existence de la différentielle approximative [§ 4-6].......................... 225Critère pour l'existence de la différentielle totale [§ 7-9].......................... 233Fonctions complexes de variable complexe. Fonctions holomorphes[§ 10-13].......................... 239Théorème de Looman-Menchoff [§ 14-15].......................... 242ANNEXE. Intégrale de Lebesgue dans les espaces abstraits.Généralités [§ 1].......................... 247Fonctions additives au sens complet [§ 2-3].......................... 247Fonctions mesurables [§ 4].......................... 251Mesure et intégrale [§ 5-8].......................... 251Espaces-produits [§ 9].......................... 257Mesure et intégrale dans les espaces-produits [§ 10-11].......................... 259NOTE. Sur la mesure de Haar par STEFAN BANACH.................................... 264OUVRAGES CITÉS....................................................................... 273INDEX TERMINOLOGIQUE................................................................. 285INDEX TERMINOLOGIQUE................................................................. 285
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KW - set theory, real functions
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