Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés

@article{Mascré2011,
abstract = {Le but de cet article est d’étendre les résultats classiques (inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, inégalité de Hedberg) sur l’intégrale fractionnaire à deux types différents d’espaces métriques mesurés : les espaces métriques mesurés à mesure doublante d’une part, les espaces métriques mesurés à croissance polynomiale du volume d’autre part. Les deux résultats principaux que nous obtenons sont les suivants :Etant donné $(X, \rho , \mu )$ un espace métrique mesuré de type homogène, étant donnés $p, q, \alpha \in \mathbf\{R\} $ tels que $1\le p<1/\alpha $, $1/q=1/p-\alpha $, $0<\alpha <1$, l’opérateur intégral fractionnaire $T_\{\alpha \}$ défini en posant $T_\{\alpha \}f(x)=\int _X V(x,y)^\{\alpha -1\}f(y)d\mu (y)$ vérifie :Si $p>1$, alors\[T\_\{\alpha \} : L^p(X) \rightarrow L^\{q\}(X).\]Si $p=1$, alors\[T\_\{\alpha \} : L^1(X) \rightarrow L^\{q,\infty \}(X).\]Etant donné un espace métrique mesuré de Vitali $(X, \rho , \mu )$ tel que $\forall \,x \in X$,\[V(x,r)\le cr^d, \ \ \ \ \forall \, r< 1 \ \ \ \ \ \hbox\{ et \}\ \ \ \ \ V(x,r)\le cr^D, \ \ \ \ \ \ \forall r\ge 1,\]étant donné $p, q, a, n\in \{ \mathbf\{R\} \}$ tels que $1\le p<n/a$, $1/q = 1/p- a/n$,$d \le n\le D$, étant donnée $k_a\{\colon \,\}X\times X \rightarrow \{ \mathbf\{R\} \}$ une fonction mesurable vérifiant les conditions de croissance (en $0$ et en $+\infty $) suivantes(i) $k_a(x,y) \le c\rho (x,y)^\{a-d\} \ \ \ \ \forall \,x,y \in X$ tels que $\rho (x,y)<1$,(ii) $k_a(x,y) \le c\rho (x,y)^\{a-D\} \ \ \ \ \forall \,x,y \in X$ tels que $\rho (x,y)\ge 1$,l’opérateur intégral fractionnaire $I_a$ associé au noyau $k_a$ vérifie :Si $p>1$,\[I\_a\{\colon \,\} L^p(X) \rightarrow L^q(X).\]Si $p = 1$,\[I\_a\{\colon \,\} L^1(X) \rightarrow L^\{q,\infty \}(X).\]},
affiliation = {Université de Cergy-Pontoise},
author = {Mascré, David},
journal = {Annales mathématiques Blaise Pascal},
keywords = {fractional integral operator; Hardy-Littlewood-Sobolev inequality; Hedberg inequality; measurable metric space},
language = {fre},
month = {7},
number = {2},
pages = {273-300},
publisher = {Annales mathématiques Blaise Pascal},
title = {Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés},
url = {http://eudml.org/doc/219832},
volume = {18},
year = {2011},
}

TY - JOUR
AU - Mascré, David
TI - Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés
JO - Annales mathématiques Blaise Pascal
DA - 2011/7//
PB - Annales mathématiques Blaise Pascal
VL - 18
IS - 2
SP - 273
EP - 300
AB - Le but de cet article est d’étendre les résultats classiques (inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, inégalité de Hedberg) sur l’intégrale fractionnaire à deux types différents d’espaces métriques mesurés : les espaces métriques mesurés à mesure doublante d’une part, les espaces métriques mesurés à croissance polynomiale du volume d’autre part. Les deux résultats principaux que nous obtenons sont les suivants :Etant donné $(X, \rho , \mu )$ un espace métrique mesuré de type homogène, étant donnés $p, q, \alpha \in \mathbf{R} $ tels que $1\le p<1/\alpha $, $1/q=1/p-\alpha $, $0<\alpha <1$, l’opérateur intégral fractionnaire $T_{\alpha }$ défini en posant $T_{\alpha }f(x)=\int _X V(x,y)^{\alpha -1}f(y)d\mu (y)$ vérifie :Si $p>1$, alors\[T_{\alpha } : L^p(X) \rightarrow L^{q}(X).\]Si $p=1$, alors\[T_{\alpha } : L^1(X) \rightarrow L^{q,\infty }(X).\]Etant donné un espace métrique mesuré de Vitali $(X, \rho , \mu )$ tel que $\forall \,x \in X$,\[V(x,r)\le cr^d, \ \ \ \ \forall \, r< 1 \ \ \ \ \ \hbox{ et }\ \ \ \ \ V(x,r)\le cr^D, \ \ \ \ \ \ \forall r\ge 1,\]étant donné $p, q, a, n\in { \mathbf{R} }$ tels que $1\le p<n/a$, $1/q = 1/p- a/n$,$d \le n\le D$, étant donnée $k_a{\colon \,}X\times X \rightarrow { \mathbf{R} }$ une fonction mesurable vérifiant les conditions de croissance (en $0$ et en $+\infty $) suivantes(i) $k_a(x,y) \le c\rho (x,y)^{a-d} \ \ \ \ \forall \,x,y \in X$ tels que $\rho (x,y)<1$,(ii) $k_a(x,y) \le c\rho (x,y)^{a-D} \ \ \ \ \forall \,x,y \in X$ tels que $\rho (x,y)\ge 1$,l’opérateur intégral fractionnaire $I_a$ associé au noyau $k_a$ vérifie :Si $p>1$,\[I_a{\colon \,} L^p(X) \rightarrow L^q(X).\]Si $p = 1$,\[I_a{\colon \,} L^1(X) \rightarrow L^{q,\infty }(X).\]
LA - fre
KW - fractional integral operator; Hardy-Littlewood-Sobolev inequality; Hedberg inequality; measurable metric space
UR - http://eudml.org/doc/219832
ER -