Sur le 2 -groupe de classes des corps multiquadratiques réels

Ali Mouhib[1]; Abbas Movahhedi[2]

  • [1] Université Mohammed Ben Abdellah Faculté polydisciplinaire de Taza Maroc
  • [2] LACO, UMR 6090 CNRS Université de Limoges 123, Avenue A. Thomas 87060 Limoges, France

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2005)

  • Volume: 17, Issue: 2, page 619-641
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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Let p 1 , p 2 , . . . , p n be distinct rational prime numbers ≢ - 1 ( m o d 4 ) , d : = p 1 p 2 ⋯ p n and k n = Q ( p 1 , p 2 , . . . , p n ) . The 2 -rank of the class group of k n can be approached by studying that of the field k m ( d ) , for an integer m < n . In this article, we treat the case where m = 2 or 3 . As an application, we deduce that the rank of the 2 -class group of k 4 is at least two (according to a result of Fröhlich, we already knew that the class group of k 4 is always of even order). We also draw the list of all multiquadratic fields k n whose 2 -class group is cyclic non-trivial.

How to cite

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Mouhib, Ali, and Movahhedi, Abbas. "Sur le $2$-groupe de classes des corps multiquadratiques réels." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 17.2 (2005): 619-641. <http://eudml.org/doc/249458>.

@article{Mouhib2005,
abstract = {Soient $p_1,p_2,...,p_n$ des nombres premiers distincts $\nequiv-1\, (mod\, 4)$, $d:=p_1p_2 \cdots p_n$ et $k_n=\{\bf Q\}(\sqrt\{p_1\},\sqrt\{p_2\},...,\sqrt\{p_n\})$. On peut approcher le $2$-rang du groupe de classes des corps $k_n$ en étudiant celui du corps $k_m(\sqrt\{d\})$ pour un entier $m &lt;n$. Dans cet article, on traite le cas où $m=2$ ou $3$. Comme application, on déduit que le rang du $2$-groupe de classes de $k_4$ est au moins égal à deux (on savait déjà grâce à un résultat de Fröhlich que le groupe de classes de $k_4$ est toujours d’ordre pair). On en déduit également la liste de tous les corps multiquadratiques $k_n$ ayant un $2$-groupe de classes cyclique non trivial.},
affiliation = {Université Mohammed Ben Abdellah Faculté polydisciplinaire de Taza Maroc; LACO, UMR 6090 CNRS Université de Limoges 123, Avenue A. Thomas 87060 Limoges, France},
author = {Mouhib, Ali, Movahhedi, Abbas},
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keywords = {real quadratic fields; 2-class group; multiquadratic fields},
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TY - JOUR
AU - Mouhib, Ali
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PB - Université Bordeaux 1
VL - 17
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AB - Soient $p_1,p_2,...,p_n$ des nombres premiers distincts $\nequiv-1\, (mod\, 4)$, $d:=p_1p_2 \cdots p_n$ et $k_n={\bf Q}(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},...,\sqrt{p_n})$. On peut approcher le $2$-rang du groupe de classes des corps $k_n$ en étudiant celui du corps $k_m(\sqrt{d})$ pour un entier $m &lt;n$. Dans cet article, on traite le cas où $m=2$ ou $3$. Comme application, on déduit que le rang du $2$-groupe de classes de $k_4$ est au moins égal à deux (on savait déjà grâce à un résultat de Fröhlich que le groupe de classes de $k_4$ est toujours d’ordre pair). On en déduit également la liste de tous les corps multiquadratiques $k_n$ ayant un $2$-groupe de classes cyclique non trivial.
LA - fre
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UR - http://eudml.org/doc/249458
ER -

References

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  1. A. Azizi, A. Mouhib, Sur le rang du 2 -groupe de classes de Q ( m , d ) où m = 2 ou un premier p ≡ 1 ( mod 4 ) . Trans. Amer. Math. Soc. 353, no 7 (2001), 2741–2752. Zbl0986.11073MR1828471
  2. A. Azizi, A. Mouhib, Capitulation des 2 -classes d’idéaux de Q ( 2 , d ) où d est un entier naturel sans facteurs carrés. Acta Arith. 109, no 1 (2003), 27–73. Zbl1077.11078
  3. M. Bulant, On the Parity of the Class Number of the Fields Q ( p , q , r ) . Journal of Number Theory 68 (1998), 72–86. Zbl0913.11046MR1492890
  4. E. Benjamin, F. Lemmermeyer, C. Snyder, Real quadratic fields with abelian 2 -class field tower. J. Number Theory 73, no. 2 (1998), 182–194. Zbl0919.11073MR1658015
  5. E. Benjamin, F. Lemmermeyer, C. Snyder, Imaginary quadratic fields k with cyclic C l 2 ( k 1 ) . J. Number Theory 67, no. 2 (1997), 229–245. Zbl0919.11074MR1486501
  6. H. Cohn, A Numerical Study of units in Composite Real Quartic and Octic fields. Proceedings of the sciences Research Council Atlas Symposium No. 2 held at Oxford, from 18-23 August, 1969 Zbl0221.12008
  7. G. Cornell, L. Washington, Class numbers of cyclotomic fields. J. Number Theory 21 (1985), 260–274. Zbl0582.12005MR814005
  8. P. E. Conner, J. Hurrelbrink, Class Number Parity. Series in pure Mathematics, Vol. 8, World Sciences, Singapore, 1988. Zbl0743.11061MR963648
  9. A. Fröhlich, Central Extensions, Galois Groups, and Ideal Class Groups of Number Fields. Contemp. Math. 24, Amer. Math. Soc., Providence, 1983. Zbl0519.12001MR720859
  10. G. Gras, Sur les l -classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier l . Ann. Institut. Fourier 23, fasc. 3 (1973), 1–48. Zbl0276.12013
  11. H. Hasse, Neue Begründung und Verallgemeinerung der Theorie des Normenrestsymbols. J. Reine Angew. Math. 162 (1930), 143–144. Zbl56.0165.02
  12. W. Jehne, On knots in algebraic number theory. J. Reine Angew. Math. 311/312 (1979), 215–254. Zbl0432.12006MR549967
  13. R. Kučera, On the parity of the class number of a biquadratic field. J. Number theory 52 (1995), 43–52. Zbl0852.11065MR1331764
  14. S. Kuroda, Über den Dirichletschen Körper. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I 4 (1943), 383–406. Zbl0061.05901MR21031
  15. F. Lemmermeyer, On class groups of cyclotomic number fields II. Acta Arith. 84 (1998), 59–70. Zbl0901.11031MR1613302
  16. M. Mazur, S. V. Ullom, Galois module structure of units in real biquadratic number fields. Acta Arith. 111, no 2 (2004), 105–124. Zbl1060.11070MR2039416
  17. L. Rédei, H. Reichardt, Die Anzahl der durch 4 teilbaren Invarianten der Klassengruppe eines beliebigen quadratischen Zahlkörpers. J. Reine Angew. Math. 170 (1933), 69–74. Zbl0007.39602
  18. A. Scholz, Uber die Lösbarkeit der Gleichung t 2 - D u 2 = - 4 . Math. Zeitschrift 39 (1934), 93–111. Zbl0009.29402
  19. H. Wada, On the class number and the unit group of certain algebraic number fields. Tokyo U., Fac. of sc. J., Serie I, 13 (1966), 201–209. Zbl0158.30103MR214565

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