Sur les corps de Hilbert-Speiser

Thomas Herreng[1]

  • [1] LMNO, BP 5186 Université de Caen 14032 Caen Cedex, France

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (2005)

  • Volume: 17, Issue: 3, page 767-778
  • ISSN: 1246-7405

Abstract

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A number field is called a Hilbert-Speiser field for a prime number p if each tamely ramified finite abelian extension of degree p admits a normal integral basis. A number field is called a Hilbert-Speiser field if it’s Hilbert-Speiser for all primes p . It’s well known that ℚ is such a field. In an article [3] written in 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav showed that ℚ is the only Hilbert-Speiser field. We give here a necessary and sufficient condition for a field to be Hilbert-Speiser for p = 2 . For example ℚ ( p ) is a Hilbert-Speiser field for p = 2 if and only if its class number is one. Then generalizing works of Conrad and Replogle [1] we obtain prime numbers p for which an imaginary abelian field is a Hilbert-Speiser field for p , and we also give a criterion for real abelian fields.

How to cite

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Herreng, Thomas. "Sur les corps de Hilbert-Speiser." Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 17.3 (2005): 767-778. <http://eudml.org/doc/249472>.

@article{Herreng2005,
abstract = {On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier $p$ si toute extension modérée abélienne finie de degré $p$ admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier $p$. Il est bien connu que $\mathbb\{Q\}$ est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que $\mathbb\{Q\}$ était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser en $p=2$. On trouve par exemple que $\mathbb\{Q\}(\sqrt\{p\})$ est de Hilbert-Speiser en $p=2$ si et seulement si son nombre de classes est un. On généralise ensuite un article de Conrad et Replogle [1], ce qui nous donne des premiers $p$ pour lesquels un corps abélien imaginaire n’est pas de Hilbert-Speiser en $p$ et on donne également une condition quand le corps est réel.},
affiliation = {LMNO, BP 5186 Université de Caen 14032 Caen Cedex, France},
author = {Herreng, Thomas},
journal = {Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux},
keywords = {tame abelian extension; normal integral basis},
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publisher = {Université Bordeaux 1},
title = {Sur les corps de Hilbert-Speiser},
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volume = {17},
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TY - JOUR
AU - Herreng, Thomas
TI - Sur les corps de Hilbert-Speiser
JO - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
PY - 2005
PB - Université Bordeaux 1
VL - 17
IS - 3
SP - 767
EP - 778
AB - On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier $p$ si toute extension modérée abélienne finie de degré $p$ admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier $p$. Il est bien connu que $\mathbb{Q}$ est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que $\mathbb{Q}$ était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser en $p=2$. On trouve par exemple que $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ est de Hilbert-Speiser en $p=2$ si et seulement si son nombre de classes est un. On généralise ensuite un article de Conrad et Replogle [1], ce qui nous donne des premiers $p$ pour lesquels un corps abélien imaginaire n’est pas de Hilbert-Speiser en $p$ et on donne également une condition quand le corps est réel.
LA - fre
KW - tame abelian extension; normal integral basis
UR - http://eudml.org/doc/249472
ER -

References

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  1. M. Conrad, D. R. Replogle, Nontrivial Galois Module Structure of cycloyomic Fields. Mathematic of computation 72 (2003), no. 242, 891–899. Zbl1020.11070MR1954973
  2. A. Fröhlich, M. J. Taylor, Algebraic Number Theory. Cambridge University Press, 1991. Zbl0744.11001
  3. C. Greither, D. R. Replogle, K. Rubin, A. Srivastav, Swan Modules and Hilbert-Speiser number fields. J. of Number theory 79 (1999), 164–173. Zbl0941.11044MR1718724
  4. L. R. McCulloh, A Stickelberger condition on Galois module structure for Kummer extensions of prime degree. Dans Algebraic Number Fields Proceedings of the Durham Symposium 1975, Academic press, London, 1977. Zbl0389.12005MR457403
  5. H. B. Mann, On integral Basis. Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 119–149. Zbl0081.26602MR93502
  6. L.C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields. Springer-Verlag, New-York, 1982. Zbl0484.12001MR718674

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