Inégalité de Sobolev et volume asymptotique

Gilles Carron[1]

  • [1] Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (UMR 6629), Université de Nantes, 2, rue de la Houssinière, B.P. 92208, 44322 Nantes Cedex 3, France

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques (2012)

  • Volume: 21, Issue: 1, page 151-172
  • ISSN: 0240-2963

Abstract

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A result of M. Ledoux is that a complete Riemannian manifold with non negative Ricci curvature satisfying the Euclidean Sobolev inequality is the Euclidean space. We present a shortcut of the proof. We also give a refinement of a result of B-L. Chen et X-P. Zhu about locally conformally flat manifolds with non negative Ricci curvature. Eventually, we discuss Ledoux’s result when the hypothesis on the Ricci curvature is weakened on a hypothesis on the scalar curvature.

How to cite

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Carron, Gilles. "Inégalité de Sobolev et volume asymptotique." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 21.1 (2012): 151-172. <http://eudml.org/doc/251024>.

@article{Carron2012,
abstract = {En 1999, M. Ledoux a démontré qu’une variété complète à courbure de Ricci positive ou nulle vérifiant une inégalité de Sobolev euclidienne était euclidienne. On présente un raccourci de la preuve. De plus nos arguments permettent un raffinement d’un résultat de B-L. Chen et X-P. Zhu à propos des variétés localement conformément plate à courbure de Ricci positive ou nulle. Enfin, on étudie ce qui se passe lorsque l’hypothèse sur la courbure de Ricci est remplacée par une hypothèse sur la courbure scalaire.},
affiliation = {Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (UMR 6629), Université de Nantes, 2, rue de la Houssinière, B.P. 92208, 44322 Nantes Cedex 3, France},
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KW - locally conformally flat manifolds; non negative Ricci curvature; Euclidean Sobolev inequality
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References

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  1. Adriano (L.), Xia (C.).— Sobolev type inequalities on Riemannian manifolds, J. Math. Anal. Appl.371 p. 372-383 (2010). Zbl1195.53054MR2661080
  2. Akutagawa (K.).— Yamabe metrics of positive scalar curvature and conformally flat manifolds, Differ. Geom. Appl. 4, p. 239-258 (1994). Zbl0810.53030MR1299397
  3. Aubin (T.).— Problèmes isopérimétriques et espaces de Sobolev, J. Differential Geometry11 , no. 4, p. 573-598 (1976). Zbl0371.46011MR448404
  4. Aubin (T.).— Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire, J. Math. Pur. Appl., IX. Ser., 55, p. 269-296 (1976). Zbl0336.53033MR431287
  5. do Carmo (M.), Xia (C.).— Complete manifolds with non-negative Ricci curvature and the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, Compos. Math. 140, no. 3, p. 818-826 (2004). Zbl1066.53073MR2041783
  6. Carron (G.).— Inégalités isopérimétriques de Faber-Krahn et conséquences, Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992), Vol. 1 of Sémin. Congr., p. 205-232. Paris : Soc. Math. France (1996). Zbl0884.58088MR1427759
  7. Carron (G.), Herzlich (M.).— Conformally flat manifolds with nonnegative Ricci curvature, Compos. Math. 142, no. 3, p. 798-810 (2006). Zbl1100.53034MR2231203
  8. Chen (B.-L.), Zhu (X.-P.).— A gap theorem for complete non-compact manifolds with nonnegative Ricci curvature, Comm. Anal. Geom.10, p. 217-239 (2002). Zbl1011.53036MR1894146
  9. Jammes (P.).— Un théorème de la masse positive pour le problème de Yamabe en dimension paire, J. Reine Angew. Math.650, p. 101-106 (2011). Zbl1216.53042MR2770558
  10. Ledoux (M.).— On manifolds with non-negative Ricci curvature and Sobolev inequalities, Comm. Anal. Geom.7, p. 347-353 (1999). Zbl0953.53025MR1685586
  11. Lee (J. M.) and Parker (T. H.).— The Yamabe problem, Bull. Am. Math. Soc., 17, p. 37-91 (1987). Zbl0633.53062MR888880
  12. Parker (T.), Taubes (C-H.).— On Witten’s proof of the positive energy theorem, Commun. Math. Phys.84, p. 223-238 (1982). Zbl0528.58040MR661134
  13. Pigola (S.), Veronelli (G.).— Lower volume estimates and Sobolev inequalities, Proc. Amer. Math. Soc. 138, no. 12, p. 4479-4486 (2010). Zbl1205.53039MR2680072
  14. Ruan (Q-H.), Chen (Z-H.).— Nash inequality on Riemannian manifolds, Acta Math. Sinica (Chin. Ser.) 49, no. 4, p. 915-918 (2006). Zbl1120.53020MR2264100
  15. Saloff-Coste (L.).— Aspects of Sobolev-Type Inequalities, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol 289. Cambridge University Press (2002). Zbl0991.35002MR1872526
  16. Schoen (R.).— Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature, J. Diff. Geom., 20, p. 479-495 (1984). Zbl0576.53028MR788292
  17. Schoen (R.), Ya (S. T.).— Conformally flat manifolds, Kleinian groups and scalar curvature, Invent. Math. 92, p. 47-71 (1988). Zbl0658.53038MR931204
  18. Talenti (G.).— Best constant in Sobolev inequality, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 110, p. 353-372 (1976). Zbl0353.46018MR463908
  19. Trudinge (N.S.).— Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Sci. Fis. Mat., III. Ser., 22, p. 265-274 (1968). Zbl0159.23801MR240748
  20. Witten (E.).— A new proof of the positive energy theorem, Comm. Math. Phys. 80, p. 38-402 (1981). Zbl1051.83532MR626707
  21. Xia (C.).— Complete manifolds with nonnegative Ricci curvature and almost best Sobolev constant, Illinois J. Math. 45, no. 4, p. 1253-1259 (2001). Zbl0996.53024MR1894894
  22. Xia (C.).— The Gagliardo-Nirenberg inequalities and manifolds of non-negative Ricci curvature, J. Funct. Anal. 224, no. 1, p. 230-241 (2005). Zbl1071.53019MR2139111
  23. Xia (C.).— The Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities on complete manifolds, Math. Res. Lett.14, no. 5, p. 875-885 (2007). Zbl1143.53036MR2350131
  24. Yamabe (H.).— On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Osaka Math. J., 12, p. 21-37 (1960). Zbl0096.37201MR125546

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