Harmonic behaviour of conformal densities and Martin boundary

Thomas Roblin

Bulletin de la Société Mathématique de France (2011)

  • Volume: 139, Issue: 1, page 97-127
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

top
By treating the Poincaré series of a discrete group of isometries in negative curvature like a Green kernel, we set up a potential theory enough comparable to the classical theory, which allows us to draw a parallel between conformal densities and harmonic densities, and in particular to define a Martin boundary in which ergodic densities make up the minimal part, and even to give a geometrical identification of it under a hyperbolicity assumption.

How to cite

top

Roblin, Thomas. "Comportement harmonique des densités conformes et frontière de Martin." Bulletin de la Société Mathématique de France 139.1 (2011): 97-127. <http://eudml.org/doc/272339>.

@article{Roblin2011,
abstract = {Traitant la série de Poincaré d’un groupe discret d’isométries en courbure négative comme un noyau de Green, on établit une théorie du potentiel assez comparable à la théorie classique pour affirmer un parallèle entre densités conformes à la Patterson-Sullivan et densités harmoniques, et notamment définir une frontière de Martin où les densités ergodiques forment la partie minimale, et enfin l’identifier géométriquement sous hypothèse d’hyperbolicité.},
author = {Roblin, Thomas},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
keywords = {Patterson-Sullivan measures; discrete groups; negative curvature; potential theory; Martin boundary; hyperbolic groups},
language = {fre},
number = {1},
pages = {97-127},
publisher = {Société mathématique de France},
title = {Comportement harmonique des densités conformes et frontière de Martin},
url = {http://eudml.org/doc/272339},
volume = {139},
year = {2011},
}

TY - JOUR
AU - Roblin, Thomas
TI - Comportement harmonique des densités conformes et frontière de Martin
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2011
PB - Société mathématique de France
VL - 139
IS - 1
SP - 97
EP - 127
AB - Traitant la série de Poincaré d’un groupe discret d’isométries en courbure négative comme un noyau de Green, on établit une théorie du potentiel assez comparable à la théorie classique pour affirmer un parallèle entre densités conformes à la Patterson-Sullivan et densités harmoniques, et notamment définir une frontière de Martin où les densités ergodiques forment la partie minimale, et enfin l’identifier géométriquement sous hypothèse d’hyperbolicité.
LA - fre
KW - Patterson-Sullivan measures; discrete groups; negative curvature; potential theory; Martin boundary; hyperbolic groups
UR - http://eudml.org/doc/272339
ER -

References

top
  1. [1] A. Ancona – « Negatively curved manifolds, elliptic operators, and the Martin boundary », Ann. of Math.125 (1987), p. 495–536. Zbl0652.31008MR890161
  2. [2] —, « Théorie du potentiel sur les graphes et les variétés », in École d’été de Probabilités de Saint-Flour XVIII—1988, Lecture Notes in Math., vol. 1427, Springer, 1990, p. 1–112. Zbl0719.60074
  3. [3] W. Ballmann – Lectures on spaces of nonpositive curvature, DMV Seminar, vol. 25, Birkhäuser, 1995. Zbl0834.53003MR1377265
  4. [4] W. Ballmann & F. Ledrappier – « Discretization of positive harmonic functions on Riemannian manifolds and Martin boundary », in Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992), Sémin. Congr., vol. 1, Soc. Math. France, 1996, p. 77–92. Zbl0885.53037MR1427756
  5. [5] A. F. Beardon – The geometry of discrete groups, Graduate Texts in Math., vol. 91, Springer, 1983. Zbl0528.30001MR698777
  6. [6] M. Bourdon – « Structure conforme au bord et flot géodésique d’un CAT ( - 1 ) -espace », Enseign. Math.41 (1995), p. 63–102. Zbl0871.58069MR1341941
  7. [7] G. Choquet – « Les noyaux réguliers en théorie du potentiel », C. R. Acad. Sci. Paris243 (1956), p. 635–638. Zbl0073.32104MR80758
  8. [8] —, Lectures on analysis. Vol. II : Representation theory, Edited by J. Marsden, T. Lance and S. Gelbart, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969. Zbl0181.39602MR250012
  9. [9] C. Connell & R. Muchnik – « Harmonicity of quasiconformal measures and Poisson boundaries of hyperbolic spaces », Geom. Funct. Anal.17 (2007), p. 707–769. Zbl1166.60323MR2346273
  10. [10] C. Dellacherie & P.-A. Meyer – Probabilities and potential, North-Holland Mathematics Studies, vol. 29, North-Holland Publishing Co., 1978. Zbl0494.60001MR521810
  11. [11] E. Ghys & P. de la Harpe (éds.) – Sur les groupes hyperboliques d’après Mikhael Gromov, Progress in Math., vol. 83, Birkhäuser, 1990. Zbl0731.20025MR1086648
  12. [12] M. Gromov – « Hyperbolic groups », in Essays in group theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 8, Springer, 1987, p. 75–263. Zbl0634.20015MR919829
  13. [13] F. Ledrappier – « Harmonic measures and Bowen-Margulis measures », Israel J. Math.71 (1990), p. 275–287. Zbl0728.53029MR1088820
  14. [14] T. Lyons & D. Sullivan – « Function theory, random paths and covering spaces », J. Differential Geom.19 (1984), p. 299–323. Zbl0554.58022MR755228
  15. [15] R. S. Martin – « Minimal positive harmonic functions », Trans. Amer. Math. Soc.49 (1941), p. 137–172. Zbl67.0343.03MR3919JFM67.0343.03
  16. [16] M. Ohtsuka – « Les relations entre certains principes en théorie du potentiel », Proc. Japan Acad.33 (1957), p. 37–40. Zbl0083.09403MR94605
  17. [17] S. J. Patterson – « The limit set of a Fuchsian group », Acta Math.136 (1976), p. 241–273. Zbl0336.30005MR450547
  18. [18] T. Roblin – « Sur la fonction orbitale des groupes discrets en courbure négative », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 52 (2002), p. 145–151. Zbl1008.20040MR1881574
  19. [19] —, « Ergodicité et unique ergodicité du feuilletage horosphérique, mélange du flot géodésique et équidistributions diverses dans les groupes discrets en courbure négative », Mém. Soc. Math. Fr. 95 (2003). 
  20. [20] —, « Un théorème de Fatou pour les densités conformes avec applications aux revêtements galoisiens en courbure négative », Israel J. Math.147 (2005), p. 333–357. Zbl1274.37017MR2166367
  21. [21] D. Sullivan – « The density at infinity of a discrete group of hyperbolic motions », Publ. Math. I.H.É.S. 50 (1979), p. 171–202. Zbl0439.30034MR556586
  22. [22] —, « Related aspects of positivity in Riemannian geometry », J. Differential Geom.25 (1987), p. 327–351. Zbl0615.53029MR882827

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.